公理的にベクトル場の共変(Covariant )微分を次のように定義する.
ベクトル場による“関数”の微分に対し, ベクトル場による“ベクトル場”の微分を定めるのが, $\textbf{共変微分}$と呼ばれる操作である.
多様体Mについて, 以下の$4$条件を満たす写像
\[\nabla \colon \mathcal{X}(M) \times \mathcal{X}(M) \to \mathcal{X}(M) \colon (X,Y)\mapsto \nabla_{X}Y\]を$M$の共変微分という.
ユークリッドの共変微分が持っていた性質のこと。
$\nabla_{X}(Y+Z)= \nabla_{X}Y + \nabla_{X}Z$
$\nabla_{X}(fY) = (Xf)Y+f\nabla_{X}Y$ こっちはガチで微分だからchain ruleが発生する。fYは微分されるから.
$\nabla_{X+Y}Z= \nabla_{X}Z+ \nabla_{Y}Z$
$\nabla_{fX}Y= f \nabla_{X}Y$
$F(X, Y)= \nabla_{X}Y $はLeibnitz ruleのせいで, テンソル性(“$C^{\infty}$”多重線形性を持たない )
だけど、写像$ \nabla, \nabla’$の差は(1,2)-Tensor場になっている.
すなわち,
\[S(X, Y)= \nabla_{X}Y- \nabla’_{X}Y\]
は(1,2)-Tensor fieldである. 実際,
\[
\begin{align}
S(fX, gY)
&= \nabla_{fX}(gY)- \nabla’_{fX}(gY) \\
&= f \nabla_{X}(gY)-f \nabla’_{X}(gY) \\
&= f \big( (Xg)Y + g\nabla_{X}(Y) \big) – f \big( (Xg)Y + g\nabla’_{X}(Y) \big) \\
&= f g \big( \nabla_{X}(Y)- \nabla’_{X}(Y) \big) \\
&= f g S(X,Y)
\end{align}
\]
このことから, p.121にあるとおりRiemaniann connection を固定して、共変微分と(1,2)-Tensor fieldを1 to 1でみることがある.
たとえば, $M$が$\R^n$の場合は, $M$の$C^{\infty}$ベクトル場$Y$は$M$上の$\R$値$C^{\infty}$級関数$(f^1,\dots,f^m)$とみなせる. ここで, ベクトル場$X$による関数の微分を考えれば,
$(Xf^1,\dots, Xf^m)$が$\nabla_X Y$である\footnote{ここで, $Xf^i$は$\R$上の関数であることに注意する. }. ユークリッド空間では今述べたように, 単純に成分ごとに微分すれば良いのだが, 第一“曲がった”空間では微分した後のベクトル場(の係数)もズレてしまう. そこで, そのベクトル(場)のズレを表す係数(を表す関数)がクリストッフェル記号である.
$(U,\{x_i\})$を$M$の局所座標とする.
この時, 自然フレーム$\{\partial / \partial x^i\}_i$を用いて, $U$上の$C^{\infty}$-関数の族$\{\Gamma_{i,j}^k\}_{1\leq i,j,k \leq m}$を
\[\nabla_{\frac{\partial}{ \partial x^i}}\frac{\partial}{ \partial x^j} = \sum_{k=1}^{m} \Gamma_{i,j}^k\frac{\partial}{ \partial x^k} \]
の係数として定義する. この$\{\Gamma_{i,j}^k\}_{1\leq i,j,k \leq m}$を$(x^i)$に関する線形接続$\nabla$の$\textbf{接続係数(クリストッフェル記号)}$という.
別の座標近傍$(V,\{\xi^a\}_{1\leq a \leq n})$でも同様に、
$V$上の$C^{\infty}$-関数の族$\{\Gamma_{a,b}^c\}_{1\leq a,b,c \leq n}$を
\[\nabla_{\frac{\partial}{ \partial {\xi}^a}}\frac{\partial}{ \partial {\xi}^b} = \sum_{k=1}^{n} \Gamma_{a,b}^c\frac{\partial}{ \partial {\xi}^c} \]
の係数として定めることができる。座標近傍の共通部分$U\cap V$では２つの局所座標系$(x^i)$, $(\xi^{\alpha})$が共存しているから, $\{\Gamma_{i,j}^k\}, \{\Gamma_{a,b}^c\}$の間に何らかの座標変換規則がある。それを導くために、$\nabla_{\frac{\partial}{ \partial x^i}}\frac{\partial}{ \partial x^j} $を$2$通りで計算してみる。 まず一方は, Christoffelの定義を使ってから、接空間$\frac{\partial}{ \partial x^j}$の変換則を使う。
\[\nabla_{\frac{\partial}{ \partial x^i}}\frac{\partial}{ \partial x^j} = \sum_{k=1}^{n} \Gamma_{i,j}^k\frac{\partial}{ \partial x^k}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{c=1}^n \Gamma_{i,j}^k \frac{\partial {\xi}^c }{ \partial {x}^k }\frac{\partial}{ \partial {\xi}^c}\]
他方、上で言った操作の順番を逆転して計算する。(bは別になんでもよくて、最後が$c$だと上の式と比較しやすいから別の文字を使ってるだけ。 最終行の等号は、このことに関連して、当然、一項目のbと二項目のcを合わせていいからである。)
\[
\begin{align}
\nabla_{\frac{\partial}{ \partial x^i}}\frac{\partial}{ \partial x^j}
&=\nabla_{\frac{\partial}{ \partial x^i}} (\frac{\partial {\xi}^b }{ \partial {x}^j }\frac{\partial}{ \partial {\xi}^b})\\
&=\frac{\partial^2 {\xi}^b }{ \partial {x}^i\partial {x}^j } \frac{\partial}{ \partial {\xi}^b} + \frac{\partial {\xi}^b }{ \partial {x}^j } \nabla_{\frac{\partial}{ \partial x^i}}\frac{\partial}{ \partial {\xi}^b} \\
&=\frac{\partial^2 {\xi}^b }{ \partial {x}^i\partial {x}^j } \frac{\partial}{ \partial {\xi}^b} + \frac{\partial {\xi}^b }{ \partial {x}^j } \nabla_{ \frac{\partial {\xi}^a }{ \partial {x}^i }\frac{\partial}{ \partial {\xi}^a }}\frac{\partial}{ \partial {\xi}^b}\\
&=\frac{\partial^2 {\xi}^b }{ \partial {x}^i\partial {x}^j } \frac{\partial}{ \partial {\xi}^b} + \frac{\partial {\xi}^b }{ \partial {x}^j }\frac{\partial {\xi}^a }{ \partial {x}^i } \nabla_{ \frac{\partial}{ \partial {\xi}^a} }\frac{\partial}{ \partial {\xi}^b}\\
&=\frac{\partial^2 {\xi}^b }{ \partial {x}^i\partial {x}^j } \frac{\partial}{ \partial {\xi}^b} + \frac{\partial {\xi}^b }{ \partial {x}^j }\frac{\partial {\xi}^a }{ \partial {x}^i} \Gamma_{a,b}^c\frac{\partial}{ \partial x^c} \\
&=\left( \frac{\partial^2 {\xi}^c }{ \partial {x}^i\partial {x}^j } + \frac{\partial {\xi}^a }{ \partial {x}^i }\frac{\partial {\xi}^b }{ \partial {x}^j } \Gamma_{a,b}^c \right) \frac{\partial}{ \partial x^c}
\end{align}
\]
\[ \Gamma_{i,j}^k \frac{\partial {\xi}^c }{ \partial {x}^k }= \frac{\partial^2 {\xi}^c }{ \partial {x}^i\partial {x}^j } + \frac{\partial {\xi}^a }{ \partial {x}^i }\frac{\partial {\xi}^b }{ \partial {x}^j } \Gamma_{a,b}^c \]
$\Gamma_{i,j}^k$は, 自然フレームの$i$番目のベクトル場$\frac{\partial}{ \partial x^i}$ $\textbf{を}$ $j$番目のベクトル場$\frac{\partial}{ \partial x^j}$ $\textbf{で}$ 微分した時にズレてくる係数の内$k$番目のベクトル場$\frac{\partial}{ \partial x^k}$での係数を表している.
当然, ユークリッド空間でのベクトル場のベクトル場の微分と一致するはずと思うかもしれない. でも,$ \textbf{まだ接続$\nabla$と計量$g$の対応が述べられていないわけである}$. そこで出てくる特別な接続が, $\textbf{Levi-Civita 接続}$である.
$M$が通常の内積を持ったユークリッド空間$\R^n$の場合, $\R^n$の座標関数から定まる自然フレームに関して$g_{i,j}=\delta_{i,j}$だから{細かいことを言わなければ, 標準基底を左から並べて行列にしたらいい.}, \[ \Gamma_{i,j}^k=0 \quad 1\leq i,j,k \leq m\]
. Let M $C^{\infty}$ mfd, $\nabla$ を或る connection on M とし, $\gamma: [a, b] \to M $be a smooth curve in M. 次のような $\gamma$に沿った$C^{\infty}$ベクトル場上で定義された$\mathbb{R}$-linear map, $D/dt$ が一意に存在する. (1) For any $f \in C^{\infty}([a, b])$,
\[
\frac{D(fX)}{ dt} = \frac{df}{ dt} X + f \frac{DX}{ dt}
\] (2) $X$が或るベクトル場$Z \in X(M)$により誘導されたベクトル場、つまり, $X(t_0) = Z(\gamma(t_0))$ for all $t_0 \in [a, b]$のとき,
\[
\frac{DX}{ dt} (t_0)=(\nabla_{\dot{\gamma}(t_0)}Z)_(t_0)
\]
多様体 M 上の可微分曲線 $\gamma \colon [a, b] \to M$ と，任意の $v \in T_{\gamma(a)}M $に対して, $\gamma$ に沿って平行なベ クトル場 $X(t)$ で$ X(a) = v$ となるものが唯一存在する． 証明： $X = (X_1 , . . . , X_m) $は線型常微分方程式 (9.1)
\[
\frac{dX_j}{dt} + \sum_{i,k} \Gamma^{j}_{i,k} \frac{dx_i}{dt} X_k = 0 (j = 1, . . . , m)
\] の初期条件 $X_j (a) = v_j$ ($v_j $は $v$ の成分) を満たす解である．
平行移動 Pγ : TpM → TqM は線型同型写像である． 証明： 方程式 (9.1) は線型方程式であるから線型性が従う．さらに γ の逆向きの曲線は Pγ の逆写像を与えるの で，同型が言える．特に、$\nabla$がLevi-Citivita接続ならば、この写像はmetic $g$に関して, 等長同型である、つまり, $O(n)$ ($M$-$n$ dim mfd)の元である.
ここででてきた$\Pi_{p(t)})^p(a)$は、端点が同じ場合、特にholonomy(ホロノミー)と呼ばれる。このホロノミーのさらなる部分集合として一点可縮な曲線の集合とすると、それは山辺の定理( Lie 群内の弧状連結部分群は連結 Lie 部分群 )から連結 Lie 部分群となり, $GL(T_pM)$ の単位元をもつ連結成分であるから, ホロノミー群自身も$GL(T_pM)$ のLie 部分群となる. この考えは、別に$T_pM$じゃなくても一般にベクトル束のファイバー$E_p$においても同様のことが成り立つ.
(参考: お茶の水女子大学大学院 幾何構造特論 IV ————– 部分多様体の法ホロノミー群 とその応用 修正版 (3 月 21 日) 田崎博之)
多様体$M$ において，点 $p(a) \in M $を通る曲線 $C = \{p(t) : a − \varepsilon < t < a + \varepsilon\}$, $\varepsilon > 0 $を考える．任意のベクトル場 $Y \in \mathcal{X}$ に対して， $(\nabla_{\dot{p }(t) }Y)_{p(a)} = \lim_
{t\to a} \frac{1 }{t − a} \{\Pi_{p(t)})^p(a)) Y_p(t) − Y_{p(a)} \}$ が成り立つ．$\Pi_{p(t)})^p(a)$ は特に始点と終点を明示して書いたものであり， $\Pi_{C}$と同じ意味である．
: MathStackExchange, [2]Riemann幾何学 田崎博之 p.11にRiemannian 多様体の場合について記述がある。(後者は、(p,q)-Tensor場のベクトル束のことを書いていて詳しいかも。)
）
任意の滑らかな曲線 $\gamma : I \to M$ と始点 $x = \gamma(0)$ において、接空間 $T_x M$ の基底
\[
\{ e_1, e_2, \dots, e_n \}
\]
を取ると、この基底を曲線 $\gamma$ に沿って平行移動して拡張した平行フレーム
\[
\{ e_1(t), e_2(t), \dots, e_n(t) \} \subset \Gamma(\gamma^* TM)
\]
が存在し、一意的に定まる。すなわち、各ベクトル場は
\[
\nabla_{\dot{\gamma}(t)} e_i(t) = 0, \quad e_i(0) = e_i
\]
を満たし、かつ $t$ に関して滑らかである。
今、存在を保証した特別なフレーム、平行フレームに関する双対フレームの存在と成分表示について次のことが言える:
平行フレーム $\{ e_i(t) \}$ に対して、双対束 $\gamma^* T^* M$ 上に対応する双対フレーム
\[
\{ e^1(t), e^2(t), \dots, e^n(t) \}
\]
が存在し、
\[
e^i(t)[e_j(t)] = \delta^i_j
\]
を満たす。これを用いて、Levi-Civita接続を持つとは限らない、一般の$C^{\infty}$多様体に関して, 任意のベクトル場が次のように、平行フレームを用いて表示できる: 任意のベクトル場
\[
V(t) \in \Gamma(\gamma^* TM)
\]
は一意的に
\[
V(t) = \sum_{i=1}^n V^i(t) e_i(t)
\]
と表され、成分関数は
\[
V^i(t) := e^i(t)[V(t)]
\]
で定義される。また、成分関数の滑らかさについては、双対フレームが滑らかであるため、$V(t)$ が滑らかなベクトル場ならば各成分関数 $V^i(t)$ も滑らかな実数値関数である。
さて、本題に戻る.
平行移動は平行フレームにより定義されるので、
\[
{\Pi}_{p(t)}^{p(a)} E_i(t) = E_i(a)
\]
が成り立つ。したがって
\[
\Pi_{p(t)}^{p(a)} Y_{p(t)} = \Pi_{p(t)}^{p(a)} \left( Y^i(t) E_i(t) \right) = Y^i(t) \Pi_{p(t)}^{p(a)} E_i(t) = Y^i(t) E_i(a).
\]
ここで、差分商の極限を計算すると、
\[
\begin{align}
\lim_{t \to a} \frac{1}{t – a} \bigl( \Pi_{p(t)}^{p(a)} Y_{p(t)} – Y_{p(a)} \bigr)
&= \lim_{t \to a} \frac{1}{t – a} \bigl( Y^i(t) E_i(a) – Y^i(a) E_i(a) \bigr) \\
&= \lim_{t \to a} \frac{Y^i(t) – Y^i(a)}{t – a} E_i(a) \\
&= \dot{Y}^i(a) E_i(a)
\end{align}
\]
ただし $\dot{Y}^i(a) := \frac{d}{dt} Y^i(t) \big|_{t=a}$ である。
一方、共変微分の定義を使って書き下すと、
\[
(\nabla_{\dot{p}(t)} Y)_{p(a)} = \left. \frac{D}{dt} \right|_{t=a} Y_{p(t)} = \left. \frac{D}{dt} \right|_{t=a} \left( Y^i(t) E_i(t) \right).
\]
接続の性質と平行フレームの定義から
\[
\left. \frac{D}{dt} \right|_{t=a} E_i(t) = \nabla_{\dot{p}(a)} E_i = 0,
\]
ゆえに
\[
(\nabla_{\dot{p}(t)} Y)_{p(a)} = \dot{Y}^i(a) E_i(a).
\]
以上より、
\[
\lim_{t \to a} \frac{1}{t – a} \left\{ \Pi_{p(t)}^{p(a)} Y_{p(t)} – Y_{p(a)} \right\} = (\nabla_{\dot{p}(t)} Y)_{p(a)}.
\]
[/proof]
