というのがある。これは、多変数複素解析の場合は、各変数($z, w \mathbb{C}$)で偏微分可能ならば、多変数(複素)関数としての連続性もついてくるという主張である。
(多変数複素解析学入門: ヘルマンダーか一松 信の複素解析の本に載ってたと思います。)
Theorem.
(Hartogsの定理)
$\Omega \subset \mathbb{C}^n$が開集合で, $f(z)$が$\Omega$で定義された多変数複素関数とする. この時, $f(z)$が各変数$z_j\,(1\leq j \leq n)$に対して正則ならば, $f(z)$は$\Omega$上で正則である.
変数の数$n$に関する帰納法で示す:
$n=1$の時は明らかである.
定理の$n-1$の場合が成り立つと仮定する. この仮定のもとで, 補題2つを示していく。
最初の定理は, 正則性がほんの小さいところでしか保証されていなくてもCauchyの積分定理、$n$成分を固定して$f$を冪級数展開した時の係数の強い有界性から導かれる.
Lemma.
任意に$R>0$を考える. $f(z)$は多重円板$P(z^0, R)\subset \mathbb{C}^n$で定義された多変数複素関数で, 各変数$z_j (1\leq j \leq n)$に関して正則であるとする. この時$0< r(< R)$が存在して, $f(z)$は$Q = B(z_1,r)\times B(z_j,r)\times B(z_{n-1},r)\times B(z_n,R)$上で正則かつ有界であるとする. この時, $f(z)$は$P(z,R)$で正則になる.
[proof]
一般性を失わずに$z^0 = (z_1^0,\ldots, z_n^0)=(0,\ldots,0)$と仮定して良い. そこで, $P=P(0,R)$と置くことにする. Hartogs定理の帰納法の仮定から, $f(z’,z_n)$は$z’$の関数として正則だから,
\[
f(z) = \sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}=1}^{\infty} c_{\alpha}(z_n)(z’)^{\alpha}
\]
と表すことができる.
(上式を偏微分するか, Cauchyの積分公式から冪級数展開するところに立ち返ればでてくることだが,) $c_{\alpha}(z_n)= D^{\alpha}f(0)/ \alpha !$である.
$0<q<r$に対して, $Q=B(0,q)\subset \mathbb{C}$と置く.
この時, Cauchyの積分公式から,
\[
c_{\alpha}(z_n) \alpha ! =D^{\alpha} f(0,z_n) = \frac{\alpha !}{(2\pi i)^{n-1}} \int_{\partial Q} \cdots \int_{\partial Q} \frac{f(\xi_1,\ldots, \xi_{n-1},z_n)}{\xi_1^{\alpha_1+1} \cdots \xi_{n-1}^{\alpha_{n-1}+1} } d\xi_1 \cdots d\xi_{n-1}
\]
と表される. 積分記号下で, ディーバー作用素
\[
\frac{\partial}{\partial \bar{z}}
\frac{1}{2}
\left(
\frac{\partial}{\partial x}
+
i,\frac{\partial}{\partial y}
\right)
\]
を作用させると, $\partial c_{\alpha} (z_n)/ \partial \overline{z_n} =0$となるから,
$c_{\alpha}(z_n)$は$z_n$の関数として正則である(後に, この関数の絶対値に$\log$を合成したものが劣調和で或ることを使う.).
さて, $R’, R_1, R_2$を$0<R_1<R_2<R'<R$を満たすようにとる.
固定した$z_n$に対して$f(z’,z_n)$は$z’ $の関数として$P_{n-1}=B(0,R)\times \cdots \time B(0,R) $($n-1$回)で正則であるから, $B’=B(0,R’)\subset \mathbb{C}$とすると,
\[
D^{\alpha} f(0,z_n) = \frac{\alpha !}{(2\pi i)^{n-1}} \int_{\partial B’} \cdots \int_{\partial B’} \frac{f(\xi_1,\ldots, \xi_{n-1},z_n)}{\xi_1^{\alpha_1+1} \cdots \xi_{n-1}^{\alpha_{n-1}+1} } d\xi_1 \cdots d\xi_{n-1}
\]
が成り立つから, 絶対値を取って被積分関数をsupで抑えれば,
\[
\abs{D^{\alpha} f(0,z_n) } \leq alpha !(R’)^{-\abs{\alpha}}\sup_{z’ \in P'(0,R’)}\abs{f(z’,z_n)}
\]
但し, $P'(0,R’) = $B(0,R’)\times \cdots \time B(0,R’) $.
固定した$z_n (\abs{z_n}<R)$に対して
\[
\abs{c_{\alpha}}R_2^{\abs{\alpha}} \leq \abs{\frac{ R_2}{R’}}^{\abs{\alpha}}\sup_{z’ \in P'(0,R’)}\abs{f(z’,z_n)}\to 0\quad(\abs{\alpha} \to \infty)
\]
が成り立つから,
固定した$z_n (\abs{z_n}<R)$に対して$\abs{\alpha}$が十分大きいならば,
\[
\abs{c_{\alpha}}R_2^{\abs{\alpha}} <1
\]
が成り立つ.
他方, 仮定から定数$M>0$が存在して, 任意の$z\in Q$に対して$\abs{f(z)}\leq M$が成立する. このことと$c_{\alpha}(z_n) $のCauchyの積分公式による表示から$\abs{c_{\alpha}(z_n)}\leq M/(q)^{\abs{\alpha}}$が成り立つ. $q \uparrow r$とすると,
任意の$\abs{z_n}<R$
\[
\abs{c_{\alpha}(z_n)} r^{\abs{\alpha}} \leq M
\]
を得る.
ここで, $\abs{c_\alpha(z_n)}$を評価していく.
まず, 二つのmulti-index $\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})$, $\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_n)$に対して次のような順序(辞書式順序)を入れる:
$\alpha < \beta$であるとは、ある$1\leq i \leq n-1$が存在して
\[
\alpha_1 = \beta_1,\ldots, \alpha_{i-1} = \beta_{i-1}, \alpha_i < \beta_i
\]
が成り立つこととする.
$alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})$, $\abs{\alpha}\neq 0$に対して, $\varphi_{\alpha}(z_n)=(1/ \abs{\alpha})\log (\abs{c_{\alpha}(z_n)})$とする.
すると、 ハルトークスの定理1で示したように$c_{\alpha}(z_n)$の正則性から, $\abs{z_n}<R$における劣調和関数である. また, $\{v_k(z_n)\}$を上の辞書式順序で$\{ \varphi_{\alpha}(z_n) \}$を並び替えたものとする. この時, $k\to \infty$の時, $\abs{\alpha}\to \infty$である.
任意の$\abs{z_n}<R$
\[
\abs{c_{\alpha}(z_n)} r^{\abs{\alpha}} \leq M
\]
を使うと,
$\abs{\alpha}\neq 0$, 任意の$\abs{z_n}<R$に対して,
\[
\varphi_{\alpha}(z_n)=\frac{1}{\abs{\alpha}} \log (\abs{c_{\alpha}(z_n)}) \leq -\log r + \frac{1}{\abs{\alpha}} \log M \leq -\log r + \log M
\]
が成り立つから, $\{v_k(z_n)\}$は$\abs{z_n}<R$において上に一様有界である.
$\abs{\alpha}$を十分大きくとると,
\[
\abs{c_{\alpha}(z_n)}R_2^{\abs{\alpha}} <1
\]
から
\[
\log \frac{\abs{c_{\alpha}(z_n)}}{\abs{\alpha}} < -\log R_2
\]
が成り立つ. 言い換えると, $k$を十分大きくすると, $v_k(z_n)< – \log R_2$. つまり, $\limsup_{k\to \infty } v_k(z_n)\leq – \log R_2$がなりたつ.
1. での 上への一様有界性の補題から、 $k$を十分大きくとると, $v_k(z_n)\leq – \log R_1$が一様に$\abs{z_n}<R_1$で成り立つ.
言い換えれば、 $\abs{\alpha}$が十分大きければ,
\[
\abs{c_{\alpha}(z_n)}} R_1^{\abs{\alpha}} \leq 1 (\forall \abs{z_n}<R_1 )
\]
が成り立つ($\log \abs{c_{\alpha}(z_n)}} \leq \log R_1^{\abs{\alpha}} $から対数をtとれば良い).
(一様収束性の証明ために)任意の$K\subset P(0,R)$をとる. ここで、 (必要があれば先ほどの$R_1$を縮めることで) $K \subset P(0,R’), R'<R_1$となるように$R’, R_1$を選ぶ.
今, 直前で示した
\[
\abs{c_{\alpha}(z_n)}} R_1^{\abs{\alpha}} \leq 1 (\forall \abs{z_n}<R_1 )
\]
から
$z\in K$上で, $\abs{c_{\alpha}(z_n)}z’} \leq \abs{R’/R_1}^{\abs{\alpha}}$となるから, $\sum_{\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1}}c_{\alpha}(z_n) (z’)^{\alpha}$は$K$上で一様収束する. だから, $f(z)$は$K$上で連続である. $K$は任意であったから, $f(z)$は$P(0,R)$上で連続である. 従って, $f(z)$は$P(0,R)$で正則である.
[\proof]
下の証明の最後の最後までは, Cauchyの積分定理を使っていない. ここで言っているのは、あくまで、 $P$の(気持ちはすごく小さい或る特定の)部分集合$Q$では正則だと言っているだけ。 こういうすごく小さくてもいいから、条件を満たす集合を見つけたいときに時折Baireのカテゴリー定理がでてくる。
Lemma.
関数$f(z)$は開集合$\Omega \subset \mathbb{C}^n$において, 各変数$z_j\,(1\leq j\leq n)$に関して, $1$変数複素関数として正則であると仮定する. 更に, 多重円盤$P=P_1 \times \dots \times P_n$は$\overline{P} \subset \Omega$を満たすと仮定する. この時, 各$(1\leq j \leq n)$に対して, 開円板$Q_j \subset P_j $が存在して, $Q_n = P_n$かつ $f(z)$は$Q= Q_1 \times \dots \times Q_n$において有界となる. 従って, 前の補題から$f(z)$は$Q$で正則となる。
[proof]
$E_M(z_n)=\{z’ \in \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}} \mid \abs{f(z’,z_n)} < M\}$とし, $E_M = \bigcap_{z_n \in \overline{P_n}}E_M(z_n)$とする. 今, 帰納法の仮定から, Hartogsの定理は$n-1$では使えるから, $f(z’,z_n)$は$z’ \in \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}} $の連続関数である. 従って, 逆像を考えれば, 各$z_n \in \overline{P_n}$に対して $E_M(z_n)$は閉集合である. 言い換えれば, $\overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}} \setminus E_M(z_n)$は開集合である.
ところで, $w’ \in \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}$を任意にとると, $f(z’,z_n)$は$n$番目の変数$z_n$について正則, 連続だから, 或る$M \in \mathbb{Z}_{+}$が存在して, $\forall z_n \in \in \overline{P_n}$, $\abs{f(z’,z_n)} < M$である. つまり, $z’ \in E_M \subset \bigcup_{M\geq 1} E_M$である.
\[
\bigcup_{M\geq 1} E_M = \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}
\]
である.
直近二つのこととBaireのカテゴリー定理を用いる:
今, $E_M\, (M=1,2,\ldots, \ldots)$が全て内点を持たないと仮定する. この時, 各$M \in \mathbb{Z}_{+}$に対して, $F_M = ( \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}) \setminus E_M$は稠密な開集合である(位相空間$\overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}$にとって). 従って, Baireのカテゴリ定理から, $\bigcap_{M\geq 1} F_n$は稠密な集合になる. ところで, $\bigcap_{M\geq 1} F_n = ( \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}) \setminus (\bigcup_{M\geq 1} E_M ) = \emptyset$だから, この両者の事柄は矛盾する.
よって, ある$M \in \mathbb{Z}_{+}$が存在して, $E_M$は内点をもつ. 多重円板$Q= Q_1 \times \dots \times Q_n$を$Q\subset E_M \times P_n$, $Q_n = P_n$となるように選ぶことができる($\overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}) $に直積位相が入っていると思ってよく, $E_M$の内部は各座標による十分小さな開円盤$Q_1 \times \dots \times Q_{n-1}$に含まれることからわかる.).
結果として, 任意の$z\in Q$に対して, $\abs{f(z)}\leq M$が成り立つ.
そして, 二つ前の補題から, $f(z)$は$Q$で正則であることがわかる.
[/proof]
$\xi =(\xi_1, \ldots, \xi_n ) \in \Omega$を任意にとる. $R>0$を$P(0,R)\subset \Omega$を満たすようにとる. 直前の補題(を$P=P(\xi,R)$で使う)から, $r>0$, $z^0=(z_1^0,\ldots,z_n^0)\in P(\xi,R)$が存在して, $Q_j = B(z^0_j,r) (1\leq j \leq n-1)$と置くと, $Q_j \subset R_j $ (1\leq j \leq n-1)$且つ $z_n^0 = \xi_n$が成り立ち, $f(z)$は$Q_1\times Q_{n-1}\times P_n (\subset P(\xi, R))$上で正則且つ有界である. これと, Hartogsの定理の仮定である”$f(z)$は$P(z^0,R)$は各変数$z_j\, (1\leq j \leq n)$に関して正則である”ことからを合わせると二つ前の補題から,
$f(z)$は$P(z^0,R)$で正則になる. $\xi \in P(z^0,R)$だから, $f(z)$は任意の$\xi$で正則である.
