月: 2025年12月

12 月 GoodNoteをやめてNotefulをipadのアプリで使おうかな。

1月:
vim v コマンドを押して, visual mode それから, カーソル選択して $X$で範囲削除できる。

:set paste でvimでの貼り付けモードになって、普通のモードで春より綺麗に貼れる。終わったら, `:set nopaste`

AWS: 二つのcloud watch metricがあったときに、`add Math` みたいなところから percentageがある。それで, 二つのmetricのグラフ名(初期はm1, m2みたいな名前のやつ) があるから, それの割り算をいい感じにすればおk m1, m2と同じ列にpercentageで作ったやつの名前変えられるところある。

graph metricsのy-axisの<, >で, 右の縦軸か左の縦軸にmetricの値が載るかが決まる。

karabiner-Elements　で mac のcaps_lockをかな変換にするスクリプト

{
"description": "Toggle Japanese Kana / Eisuu with CapsLock (CapsLock disabled)",
"manipulators": [
{
"type": "basic",
"from": {
"key_code": "caps_lock",
"modifiers": { "optional": ["any"] }
},
"conditions": [
{
"type": "variable_if",
"name": "kana_mode",
"value": 0
}
],
"to": [
{
"set_variable": {
"name": "kana_mode",
"value": 1
}
},
{ "key_code": "japanese_kana" }
]
},
{
"type": "basic",
"from": {
"key_code": "caps_lock",
"modifiers": { "optional": ["any"] }
},
"conditions": [
{
"type": "variable_if",
"name": "kana_mode",
"value": 1
}
],
"to": [
{
"set_variable": {
"name": "kana_mode",
"value": 0
}
},
{ "key_code": "japanese_eisuu" }
]
}
]
}

 teeコマンドで, MySQLの操作を記録できる。

sed -i " "s/^/'/" hoge(編集対象ファイル) 

• 関節（間接）消耗したら補助ほしい。（材料費：補助材料費、工場消耗品は関節材料費）

ここからは, $4$つ組$(S,g,\nabla^{(e)},\nabla^{(m)})$を統計多様体という.

\[
p(\omega) = \sum_{a=1}^{n-1}\\eta_i \delta_i(\omega) + (1 – \sum_{a=1}^{n-1} \eta_i ) \delta_n(\omega)
\]
は, $\nabla^{(-1)}=\nabla^{(m)}$- アファイン座標系であることをみた.
\[
\frac{\partial}{\partial \xi^a}p(\omega) = \delta_a(\omega) – \delta_n(\omega)
\]
だから, $\nabla^{(m)}$の接続係数
\[
\Gamma_{ij,k}^{(m)} =\Gamma_{ij,k}^{(-1)} =\sum_{\omega=1}^n (\partial^i \partial^j p(\omega)) (\partial^k \log p(\omega)) =0
\]
が$1\leq i,jk,\leq n-1$で成立する.
ユークリッドの接続では, 大域的にクリストッフェル記号が$0$だから, 接続$\nabla^{(m)}$は, ユークリッド接続を$S$に制限してものに一致する.

そこで, $(\eta_i)$の双対アファイン座標系をみる. $\nabla^{(e)}=\nabla^{(+1)} $の接続係数
\[
\Gamma_{ij,k}^{(e)} =\Gamma_{ij,k}^{(1)} =\sum_{\omega=1}^n (\partial_i \partial_j \log p(\omega)) (\partial_k  p(\omega))
\]
の形から, $\log p$を見る必要があることがわかる.
そこで, $\log p$を書き換える.
任意の$1 \leq \omega \leq n-1$に対して,
\[
\log p(\omega) = \sum_{i=1}^{n-1} \left( \log \frac{p(i)}{p(n)}\right) + \log p(n)
\]
と書き直せる. これは, 任意の$1 \leq i \leq n-1$に対して, $ \log p(n) \delta_i(\omega)=0$であることから, $\sum_{i=1}^{n-1} \log p(n) \delta_i(\omega)=0$であることからわかる.
ここで, 任意の$1 \leq i \leq n-1$にたいして,
\[
\theta^i := \log \frac{p(i)}{p(n)}
\]
とおく. 確率分布であること$\sum_{\omega =1}^n p(\omega) =1$と $e^{\theta^i }=\frac{p(i)}{p(n)}$から$\sum_{i=1}^{n-1}e^{\theta^i }=\sum_{i=1}^{n-1}  \frac{p(i)}{p(n)}$であることに注意すると,
\[
1+\sum_{i=1}^{n-1}e^{\theta^i } = 1+   \frac{\sum_{i=1}^{n-1} p(i)}{p(n)} =    \frac{\sum_{i=1}^{n} p(i)}{p(n)} = \frac{1}{p(n)}
\]
したがって,
\[
p(n) =\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n-1}e^{\theta^i }}
\]
という関係式が成り立ち,
前の方にあった$\log p(\omega)$は
\[
\log p(\omega) = \sum_{i=1}^{n-1} \theta^i \delta_i(\omega) – \log \left( 1+\sum_{i=1}^{n-1}e^{\theta^i } \right)
\]
であることがわかる.
更に, この式の右側の部分を$\psi$とおく: つまり,
\[
\psi(\theta) := \log \left( 1+\sum_{i=1}^{n-1}e^{\theta^i } \right) = -\log p(n)
\]
とおく.
こうすると, 結局のところ, $\log p(\omega)$は
\[
\log p(\omega) = \left( \sum_{i=1}^{n-1} \theta^i \delta_i(\omega) \right) – \psi(\theta)
\]
と書ける.
ここで, $\theta = (\theta^1, \ldots, \theta^{n-1})$を$S$の座標系として計算をする.
$\partial_j \log p(\omega) = \delta_j(\omega) -\partial_j \psi(\theta)$であって, $\partial_i \partial_j \log p(\omega) = -\partial_i \partial_j \psi(\theta)$である. つまり, $\partial_i \partial_j \log p(\omega) $は$\omega$に依存しない.  だから, この座標系での接続係数は,
\[
\Gamma_{ij,k}^{(e)}= – (\partial_i \partial_j \psi(\theta)) \sum_{\omega =1}^n  \partial_k p(\omega) = \partial_k( \sum_{\omega =1}^n   p(\omega) ) = \partial_k(1) =0
\]
となって, $(\theta^i)$が$\nabla^{(e)}$のアファイン座標系になっていることがわかる.

さて, 実は$(\eta_i)$と$(\theta^j)$は双対アファイン座標系になっていることがわかる.
それには例によって, $1\leq i,j \leq n-1$, $1\leq \omega \leq n$においては, $\delta_n(\omega)\delta_j(\omega)=0$であることと, $\frac{\partial \psi}{\partial \theta^j}$が$\omega$に依らないことに注意する.
\begin{align}
g(\frac{\partial \psi}{\partial \eta_i}, \frac{\partial}{\partial \theta^j})&= \sum_{\omega =1}^n (\delta_i(\omega)-\delta_n(\omega)) \left( \delta_j(\omega) – \frac{\partial \psi}{\partial \theta^j} \right) \\
&=\sum_{\omega =1}^n (\delta_i(\omega)-\delta_n(\omega)) \delta_j (\omega) \\
& \delta_{ij}
\end{align}

[proof]
(i)
\[
\partial_j \log p(\omega) = \frac{\partial_j p(\omega)}{p(\omega)}
\]
を使うと, Fisher計量であることに注意すれば, 任意の$k$に対して,
\[
g(\partial_k, Y) = \sum_{\omega\in \Omega} p(\omega) (\partial_k \log p(\omega)) (Y\log p(\omega) = \sum_{\omega\in \Omega} (\partial_k p(\omega)) (Y\log p(\omega)
\]
から分かる.

(ii)
\[
g(\nabla^{(-1)}_{\partial_i} \partial_j,\partial_k) = \Gamma_{ij,k}^{(-1)} = \sum_{\omega =1}^n  (\partial_i \partial_j p(\omega) ) (\partial_k \log p(\omega))
\]
であることに注意するとわかる.

(iii)
\[
g(\nabla^{(1)}_{\partial_i} \partial_j,\partial_k) = \Gamma_{ij,k}^{(1)} = \sum_{\omega =1}^n p(\omega) (\partial_i \partial_j \log p(\omega) ) (\partial_k \log p(\omega))
\]
であることに注意すると分かる.
[/proof]

接続の双対性(再掲) . これを, 期待値, Fisher計量を使うと, 機械的に証明できる.

$\nabla^{(e)}$, $\nabla^{(m)}$に関する平行移動をみてみる.

有限次元の内積の弱収束は, 強収束を導くことを思い出した上で次の定理を示す.