アファイン写像は凸結合を保つので、次のような補題がわかる.
Lemma.
(V) と (W) を実ベクトル空間とする。
写像 ($f : V \to W$) がアフィン、すなわち
\[
f(x)=A x + a
\]
（(A) は線形写像、($a\in W$)）
であるとする。このとき、任意の点$ (x_1,\dots,x_m\in V)$ と凸結合
\[
x=\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i,\qquad
\lambda_i\ge 0,\ \sum_{i=1}^m \lambda_i=1,
\]
に対して、
\[
f(x)=\sum_{i=1}^m \lambda_i f(x_i)
\]
が成り立つ。
[proof]
アフィン性より
\[
f(x)=A\left(\sum_{i=1}^m \lambda_i x_i\right)+a
=\sum_{i=1}^m \lambda_i A x_i + a
=\sum_{i=1}^m \lambda_i (A x_i + a)
=\sum_{i=1}^m \lambda_i f(x_i).
\]
[/proof]
前補題を ($\lambda_i=1/n$) に適用すればよい
Lemma.
$(v_1,\dots,v_n\in V) $の重心
\[
b=\frac1n\sum_{i=1}^n v_i
\]
に対し、アフィン写像 ($f:V\to W$) は
\[
f(b)=\frac1n\sum_{i=1}^n f(v_i)
\]
を満たす。
Theorem.
$\mathcal{S}_{n-1}$上の(0,2)テンソル場$g^{[n]}$からなる列$\{g^{[n]} \mid n=2,3,\ldots, \}$であって, 任意のMarkov埋め込み$f$に関する不変性
\[ g^{[n]}_p(X,Y) = g^{[n]}_{f(p)} (f_*X, f_*Y) \]
を満たすものは定数倍を除いて、
\[.g^{[n]}_p(X,Y)= \sum_{\omega =1 }^n p(\omega)(X \log p(\omega))(Y \log p(\omega)) \]
に限られる.
[proof]
[Step. 0]
Markov埋め込み写像$f\colon \mathbb{R}^n_{>0} \to \mathbb{R}^l_{>0}$に次のようにして自然に拡張される:つまり,
\[
f\colon \mathbb{R}^n_{>0} \to \mathbb{R}^l_{>0}; (x^1, \ldots, x^n) \mapsto (\sum_{j=1}^n x^jQ^{1}_{(j)}, \ldots, \sum_{j=1}^n x^jQ^{l}_{(j)})
\]
であって, $f\rvert_{S_{n-1}}$は$S_{n-1}$上では, $S_{l-1}$にはいる($f(S_{n-1})\subset S_{l-1} \subset R^{l-1}_{>0}$.)
が, 別に, $f\rvert_{\mathbb{R}^{n}_{>0} \setminus S_{n-1}}$は別に$S_{l-1}$にはいらなくてもいい.
[Step.1]
$\mathcal{S}_{n-1}$の重心
\[ p_0=(\frac{1}{n},\ldots,\frac{1}{n})\]
で考える. Markov埋め込みによる不変性の特殊なケースとして、$l=n$の場合, つまり、(ラベルを入れ替える写像として$f$を考えるということ。)事象のラベル付けの不変性から、
\[. g^{[n]}_{p_0}(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^i}) \]
は$1\leq i \leq n$によらない。 また$1\leq i\neq j \leq n$に対し,
\[. g^{[n]}_{p_0}(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}) \]
は$i,j$によらない。
したがって,
ある定数の列$A^{[n]},B^{[n]}$が存在して,
\[ g^{[n]}_{p_0}(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}) = \delta_{ij}A^{[n]} + B^{[n]} \]
となる. (実際, $A^{[n]}= g^{[n]}_{p_0}(\frac{\partial }{\partial x^1},\frac{\partial }{\partial x^1})$, $B^{[n]}$を$g^{[n]}_{p_0}(\frac{\partial }{\partial x^1},\frac{\partial }{\partial x^2})$とおけばよい。)
実は, $B^{[n]}=0$としても一般性が失われないことが次のようにしてわかる:
まず, $X\in T_{p_0}\mathcal{S}$を
\[X=\sum_i X^i \frac{\partial }{\partial x^i}\]
と成分表示すると,
\[\sum_i X^i =0\]
となる。何故ならば、$\mathbb{R}^n_{>0}$上の関数$h(x^1,\ldots,x^n)=x^1+\cdots + x^n$は$\mathcal{S}_{n-1}$上は常に値$1$を取る定数関数だから, $X(h)=X(1)=0$である. したがって,
\[ 0=X(h)=X(\sum_i x^i) = (\sum_i X^i \frac{\partial }{\partial x^i})(\sum_i x^i) = \sum_i X^i \]
以上により, 任意の$X,Y \in T_{p_0}\mathcal{S}$に対し,
\[. g^{[n]}_{p_0}(X,Y) = \sum_{i,j=1}^n X^iY^j(\delta_{ij}A^{[n]} + B^{[n]} ) = A^{[n]} \sum_{i=1}^n X^iY^i \]
となるから、$B^{[n]}=0$としても一般性が失われない。(X^i, Y^i一方のみのときは直前のことから消える。)
[Step2] 任意の$l$に対して、ある自然数$k$が存在して, $l=nk$となっている状況で、
\begin{align}
f(x^1,\ldots,x^n)&=(\frac{x^1}{k},\ldots,\frac{x^1}{k}, \ldots, \frac{x^n}{k},\ldots,\frac{x^n}{k},) \\
&=: (y^{1_1},\ldots, y^{1_k},\ldots,y^{n_1},\ldots, y^{n_k})
\end{align}
という$\mathcal{S^{l-1}}\subset \mathbb{R}^{l}$へのMarkov埋め込みを考える。
実際、 $1\leq j \leq n$に対して, $C_{(j)}=\{(j-1)k+1,\ldots, jk\}$とし, $Q_{(j)}=(\frac{1}{k}1_{C_{(j)}}(1),\ldots, \frac{1}{k}1_{C_{(j)}}(n))$とすれば確かにMarkov埋め込みの条件を$f$が満たしていることがわかる。
さて, このとき, $f_{*}\colon T_p \mathcal{S}_{n-1} \to T_p \mathcal{S}_{l-1}$を考えると, これは、 $\frac{\partial }{\partial x^i}\mapsto \sum_{j=1}^{l} \frac{\partial y^j}{\partial x^i} (\frac{\partial }{\partial y^j} )= \frac{1}{k} \sum_{r=l}^n \frac{\partial }{\partial y^l} $
であり、$\mathcal{S^{l-1}}$の重心$p_0$の$f$による像は$f$の定義から, $\mathcal{S}_{l-1}$の重心である。
実際, 行列 (A\in\mathbb{R}^{(nk)\times n}) による線形写像
\[
y = A x
\]
で表せる。ここで (A) の成分は次のようになる：行番号を $( (i-1)k + j) （(i=1,\dots,n), (j=1,\dots,k)）$と取ると
\[
A_{(i-1)k + j, \ell} =
\begin{cases}
1 & (\ell=i) \\
0 & (\ell\neq i)
\end{cases}.
\]
したがって、不変性により,
\begin{align}
A^{[n]} &= g^{[n]}_{p_0}(\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^i}) \\
&=g^{[n]}_{f(p_0)}(f_*\frac{\partial }{\partial x^i},f_*\frac{\partial }{\partial x^i}) \\
&=g^{[n]}_{f(p_0)}( \frac{1}{k} \sum_{r=1}^n \frac{\partial }{\partial y^l} , \frac{1}{k} \sum_{r=1}^n \frac{\partial }{\partial y^l} )\\
&= \frac{1}{k^2} \sum_{r,s =1}^n g^{[n]}_{f(p_0)}( \frac{\partial }{\partial y^l} , \frac{\partial }{\partial y^l} ) \\
&= \frac{1}{k^2} \sum_{r,s =1}^n \delta_{i_r,i_s} A^{[l]} \\
&=\frac{1}{k} A^{[l]}
\end{align}
これにより,
\[
\frac{A^{[n]}}{n} = \frac{A^{[l]}}{nk} = \frac{A^{[l]}}{l}
\]
したがって、ある定数$\lambda$が存在して,
\[
A^{[n]}= \lambda n
\]
となる.
[Step3.] 今までの計算を使って、$(0.2)$テンソルの中身の基底の計算が別の場合を示していく。
$\mathcal{S}_{l-1}$上の有理点$p$を任意にとり, それを共通の分母$l$にもつ(通分しておくということ)分数で,
\[
p = (\frac{m_1}{l},\ldots, \frac{m_n}{l})
\]
と表しておく.、
そして,
\begin{align}
f(x^1,\ldots,x^n)&=(\frac{x^1}{m_1},\ldots,\frac{x^1}{m_1}, \ldots, \frac{x^n}{m_n},\ldots,\frac{x^n}{m_n},) \\
&=: (y^{1_1},\ldots, y^{1_k},\ldots,y^{n_1},\ldots, y^{n_{m_n}})
\end{align}
ここで, 一般に
\[
\sum_{r=1}^{m_1} \sum_{s=1}^{m_2} \delta_{rs} = \sum_{r=1}^{m_1} 1_{\{ s \mid s\leq m_2 \}}(r)=m_1 \wedge m_2
\]
であるから,
\[
\frac{1}{m_i m_j}\sum_{r=1}^{m_i} \sum_{s=1}^{m_j} \delta_{ij} \delta_{rs} A^{[l]} = \frac{\delta_{ij}}{m_i m_j} \times (m_i \wedge m_j ) A^{[l]} = \frac{\delta_{ij}}{m_i \vee m_j} A^{[l]}
\]
となることに注意する.
すると、任意の点$p\in \mathcal{S}_{l-1}$に対し
\[p(\omega) = \sum_{a=1}^{n-1}\xi^a \delta_a(\omega) + (1 – \sum_{a=1}^{n-1} \xi^a ) \delta_a(\omega) \]
をみたす正の実数の組$(\xi^1,\ldots, \xi^{n-1})$が唯一つ定める($\xi^1(p),\ldots, \xi^{n-1}(p)$に関する微分方程式が解けるからそういうこと。)。
$a$方向に偏微分すると,
\[
\frac{\partial}{\partial \xi^a}p(\omega) = \delta_a(\omega) – \delta_n(\omega)
\]
がわかる.
$1\leq a,b \leq n$に対して, $\delta_a(\omega)\delta_n(\omega)=0$, $\delta_b(\omega)\delta_n(\omega)=0$であることに注意すればよい.
[/proof]
