Bichteler-Dellacherie theorem という有名な定理がある。この定理は、ある重要な二つのセミマルチンゲールの定義の同値性を言っている。
すごく大雑把に言えば、
$X$がcadlagなadapted processのときに、各時刻$t\geq 0$に対して、確率測度$P$上で有界な任意の関数$\xi$において確率積分が存在することと、
$X$が$X=M+V$、$M$：局所マルチンゲール、有限変動関数$V$に分けることができる
ことが同値である.
https://planetmath.org/bichtelerdellacherietheorem
そして、不連続であってもいいのでセミマルチンゲールと、二回連続微分可能関数$$F\colon \R\to \R$を考えれば、伊藤の公式が成り立つことが知られている。