Jakob Steiner による シュタイナーの公式（Steiner formula） と呼ばれる、現代の凸幾何学でも基本定理のひとつ。
「Quermass（クヴェアマース）」はドイツ語で「横断的な測度（寸法）」といった意味です。 この $W_i$ は、実は「$K$ を $i$ 次元的な平面で切ったり投影したりしたときの平均的な大きさ」（積分幾何学的な平均値）として解釈できるため、この名前がついているらしい。$V$を$\mathbb{R}^n$における普通 $n$次元体積として書くことにすると、

このシュタイナーの公式において、$\binom{n}{i}$ という二項係数がつくのも、混合体積の多重線形性（$n$ 個の引数のうち、どこに $B$ を入れるかの組み合わせ　を表す。

\[
W_i(K):=V(\underbrace{K,\dots,K}_{n-i},\underbrace{B(1),\dots,B(1)}_{i})
\] は 第$i$クヴェアマース積分（quermassintegral）と呼ばれる。

これの確率場(ガウス測度)バージョンがA Gaussian kinematic formula と呼ばれている:
Jonathan E. Taylor. “A Gaussian kinematic formula.” The Annals of Probability, 34(1) 122-158 January 2006. https://doi.org/10.1214/009117905000000594
日本語文献: 数理科学2020年九月号 確率場の幾何
ちなみに、宇宙マイクロ波背景（CMB）の宇宙の温度のゆらぎを観測する時のガウス性を検定するのに使っているらしい
WMAPデータのミンコフスキー汎関数解析から探る宇宙初期ゆらぎの非 ガウス性への制限

滑らかなガウス確率場 $(f \colon M\to\mathbb{R}^k)$（$M$ は $n$ 次元の滑らかな多様体）を考え、レベル集合や超レベル集合

\[
A_u=\{x\in M:\ f(x)\in D_u\}
\]

（例：(k=1) なら ($D_u=[u,\infty)$）のLipschitz–Killing 曲率（= 固有体積）を見ることになる。(この下の説明は$k=1$での話。)

レベル集合 (A_u={f\ge u}) の期待オイラー標数は

\[
\mathbb{E}[\chi(A_u)]=\sum_{j=0}^{n}\mathcal{L}^j(M),\rho^{n-j}(u)
\]

となります。

ここで (\rho_m(u)) はエルミート多項式と( 標準正規分布の密度関数 ($\varphi(u)$) ) を使って

\[\rho_m(u)=(2\pi)^{-(m+1)/2} H_{m-1}(u)e^{-u^2/2} \quad (m\ge1)
\]

\[
\rho_0(u)=1-\Phi(u)
\] （$(\Phi)$：標準正規分布関数）という形になります。

さて、話を戻すと、

混合体積 (V(\cdot)) を使って

* (K) を (n-i) 回

* 単位球 (B(1)) を (i) 回

入れたものが$W_i(K)$である.

凸体 ($K \subset \mathbb{R}^n$) と単位球 (B) に対し、

\[
K + \alpha B
\]

（= 距離 (\alpha) だけ外側へ膨らませた集合）の体積は

\[
V(K+\alpha B)
\]

が (\alpha) の次数 (n) の多項式になります。

これはミンコフスキー加法と体積の性質から導かれる事実で、
係数が クヴェアマース積分（Quermassintegrals） になる。

\[
V(K + \alpha B) =\sum_{j=0}^{n} \kappa_{n-j} V_j(K) \alpha^{n-j}
\]

ここで$V_j(K)$は固有体積と呼ばれる
\[
V_j(K)=\frac{\binom{n}{j}}{\kappa_{n-j}}W_{n-j}(K)
\] のことである。また、各$m$に対して$\kappa_m $は
\[
\kappa_m = W_j(B)
\frac{\pi^{m/2}}{\Gamma!\left(\frac{m}{2}+1\right)}
\] のことである。特に係数比較をすることで、
\[
V_j(B) = \frac{\binom{n}{j} \kappa_n}{\kappa_{n-j}}
\] がわかる。

 

• $j=3$ (体積):

  $$V_3(B) = \frac{\binom{3}{3}\kappa_3}{\kappa_0} = \frac{1 \cdot \frac{4}{3}\pi}{1} = \frac{4}{3}\pi$$

  → 単位球の体積

• $j=2$ (表面積の半分):

  $$V_2(B) = \frac{\binom{3}{2}\kappa_3}{\kappa_1} = \frac{3 \cdot \frac{4}{3}\pi}{2} = 2\pi$$

  → (半径$1$の)球の表面積は $4\pi$ なので、その半分になっている。

• $j=0$ (オイラー標数):

  $$V_0(B) = \frac{\binom{3}{0}\kappa_3}{\kappa_3} = \frac{1 \cdot \kappa_3}{\kappa_3} = 1$$

  → 凸集合なので 1。

  固有体積	幾何学的意味
  (V_3(K))	体積
  (V_2(K))	表面積の 1/2
  (V_1(K))	平均幅に比例
  (V_0(K))	オイラー標数（凸体なら1）

 

\[
F(K) =\left.\frac{d}{d\alpha}V(K+\alpha B)\right|_{\alpha=0}
\]

これは直感的にも：
「薄い厚み (\alpha) だけ外側に皮をつけると
体積は 表面積 × (\alpha) だけ増える」

という意味になります。

実際に多項式を微分すると、

\[
V(K+\alpha B) =V(K) + F(K)\alpha + \cdots
\]

となり、

\[
F(K)=\kappa_1 V_{n-1}(K).
\] 一次係数が表面積に一致します。
実際、

$n=3$ のとき

\[
F(K)=\kappa_1 V_2(K).
\]

\[
\kappa_1=2
\] なので
\[
V_2(K)=\frac{1}{2}F(K).
\] である。

具体的には次のような
偏極化公式（polarization identity）を使って示す:

多面体 $(P_1,\dots,P_n\in \mathcal P^n) $に対して

\[
V(P_1,\dots,P_n)= \frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{,n-k} \sum_{1\leq r_1<\cdots<r_k\leq n}V(P_{r_1}+\cdots+P_{r_k})
\]

これを用いる。

\[
V(\alpha_1P_1+\dots+\alpha_mP_m)= \sum_{1\leq i_1,\dots,i_n \leq n} \alpha_{i_1}\dots\alpha_{i_n} V^{(n)}(P_{i_1},\dots,P_{i_n})
\]

混合体積$V(P_1,\ldots,P_n)$は、

* ($n=1$) では区間の長さ

* ($n\ge 2$) では

「法線方向ごとに、低次元の混合体積を足し合わせる」
n 次元の体積を 境界面（法線方向）に分解して $(n−1)$ 次元の混合体積に落として定義されている。

平行移動不変 : 各 (P_i) を別々に平行移動しても値は変わらない

対称性:
\[
V^{(n)}(P_1,\dots,P_n)
\] は引数を入れ替えても同じ
(これと一緒に
\[
\dim(P_1+\dots+P_n) \le n-1
\] なら混合体積は $0$が導かれる。)

この図は、2つの長方形 $K$ (水色) と $L$ (黄緑) を足し合わせたとき（ミンコフスキー和 $K+L$）、全体の面積 $(a+c)(b+d)$ がどのように分解されるかを示しています。

• 青色の部分 ($ab$): $K$ 本来の体積 $V(K)$ です。

• 緑色の部分 ($cd$): $L$ 本来の体積 $V(L)$ です。

• オレンジ色と紫色の部分 ($ad$ と $bc$): これらが、公式 $V(K+L) = V(K) + 2V(K, L) + V(L)$ における $2V(K, L)$ の正体です。

つまり、\[
2V(K, L) = ad + bc
\] になっている。これは上の公式からも導けて、上の公式は$n=2$の場合、
凸体を2つ：
\[
P_1=K,\quad P_2=L
\]

一般公式は

\[
V(\alpha_1P_1+\alpha_2P_2)=\sum_{1\le i_1,i_2\le 2} \alpha_{i_1}\alpha_{i_2} V^{(2)}(P_{i_1},P_{i_2})
\] 添字の組は：

\[
(1,1),(1,2),(2,1), (2,2)
\]

したがって

\[
V(\alpha_1K+\alpha_2L) = \alpha_1^2V(K,K) + \alpha_1\alpha_2V(K,L) + \alpha_2\alpha_1V(L,K) + \alpha_2^2V(L,L)
\]

混合体積は対称なので
\[
V(K,L)=V(L,K)
\]

よって
\[
V(\alpha_1K+\alpha_2L)= \alpha_1^2V(K) + 2\alpha_1\alpha_2V(K,L) + \alpha_2^2V(L)
\] ここで
\[
V(K,K)=V(K),\quad V(L,L)=V(L)
\] に注意する。現在の例は、$\alpha_1,\alpha_2 $ともに$1$なので
\[
V(K+L)= V(K) + 2V(K,L) + V(L)
\]

 

なぜ、$V_0$ を「オイラー標数」と呼ぶのかというと、単一の凸体だけではなく、それらを組み合わせた凸集合の有限和集合を考えるときに、この定義がトポロジー的なオイラー標数と完全に一致するからです。

オイラー標数には、以下の加法性（包含排除の原理）を満たす。

• $A$ も $B$ も凸なら、それぞれのオイラー標数は $1$ です。

• もし $A \cap B$ も凸（または空ではない）なら、そのオイラー標数も $1$ です。

• すると、$\chi(A \cup B) = 1 + 1 – 1 = 1$ となり、つながった1つの塊として正しくカウントされます。

• もし $A$ と $B$ が離れていれば、$A \cap B = \emptyset$（オイラー標数 0）なので、$\chi(A \cup B) = 1 + 1 – 0 = 2$ となり、「塊が2つある」ことを正しく示します。

参考:
A Course

on

Convex Geometry

Daniel Hug, Wolfgang Weil

University of Karlsruhe

revised version 2009/2010

January 24, 2011

$C$に関しては,

\[
C= \sigma_1(\{3,4,5\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_2(\{3,4,5\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_3(\{7,8,1\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_4(\{1,2,3\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_5(\{7,8,1\}^\mathbb{N} \cup \{1,2,3\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_6(\{3,4,5\}^\mathbb{N} \cup \{7,8,1\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_7(\{3,4,5\}^\mathbb{N} \cup \{1,2,3\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_8(\{1,2,3\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N})
\]

\[
\mathcal{P} = \bigcup_{n=1}^{infty} \sigma^n(C_L)  =\{3,4,5\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N} \cup \{7,8,1\}^\mathbb{N} \cup \{1,2,3\}^\mathbb{N}
\] の各項に対応して眺めると
\[
V_0 = (\{1\} \times [0,1] ) \cup ([0,1] \times \{1\} )\cup ([0,1] \times \{0\} ) \cup  (\{1\} \times [0,1] )
\] がわかる。

$\forall x\in C_K$, $S=\{1,2,\ldots,8\}$に対して
ある$\{i,j\}\in \{ \{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\},\{5,6\},\{6,7\},\{7,8\} ,\{8,1\} \}$
により
\[
\{x\in S \mid x \in K_k\}=\{i,j\}
\] これを利用すると,
結果として
\[\pi^{-1}(x) \subset (\sigma_i (\pi^{-1} (F_i^{-1}(x)) )) \cup (\sigma_j (\pi^{-1} (F_j^{-1}(x)) ))  \] がわかって, $y= (F_i^{-1}(x))$とおいて$\pi^{-1}(x)$を計算すると, $\# \pi^{-1}(x) =\# \pi^{-1}(F_i^{-1}(x)) \leq 2$. 同様に$\# \pi^{-1}(F_j^{-1}(x)) \leq 2$.

このことから結局
\[
\# \pi^{-1}(x) \leq 4
\]

• 参考:
  講義ノートpdfファイル (2.4MB)（2014年2月23日更新：2.3節の内容を一部修正）
  応用解析学特論I（京都大学大学院情報学研究科　2013年度集中講義）フラクタル上の解析学入門

 

もしかしたら需要のある失敗の話を先にかきます:
失敗は, aws.trainingの名前を日本語名（か 氏名を逆にしてたのか）にしちゃってたのか、Pearson VUE Confirmationでの表示が姓　名　になってしまっていたんですねー。
これを試験の時まで気づかなくて焦りはしたのですが、結果としては受けられました。(そのときに、サポートから行って直してねー。と言ってもらえはしたのですが、わからなかったのでここに記します。 他のサイトにもあるけど、えーあいのチャットサポートで詰まったので備忘録)

Subject: Re: Request to correct my name (Exam ALREADY COMPLETED)

Dear AWS Support Team,

Thank you for your response.

However, I am unable to update my name by myself because I have already completed the exam. The system does not allow me to edit the name fields anymore.

On the exam day, the staff at the Pearson VUE test center verified my identity with my passport. They instructed me to contact AWS Support directly to correct the name order on my certification profile after the exam.

Since I cannot change it from “My Profile,” could you please update it on your end?

Correct Name:

First Name: Taro

Last Name: Yamada

My passport is attached to the previous email for your reference.

Best regards,

Taro Yamada

こう言うのを書いて上に

ただ、これを送信してAI君が頑張ってくれはするけど、よしなにやってくれないので, 下の方にある　問題を解決するためにケースを作るみたいなボタンを押しましょう。
そうすると,

こう言うのが出てきて結構すぐに上に書いたメールに
AWS からお問い合わせ確認メールが来ます:

こっから四日位経つと、（ちゃんとした）日本語で
運転免許証か、マイナンバー、パスポートのどれか
をこのメールの返信に送って
とくるので送ります。

で、送ったら、自分の時は上記のメールが来てから一日くらいで変更してもらえました。

勉強対策:
黒本って呼ばれるやつ？
徹底攻略 AWS認定 クラウドプラクティショナー教科書 第2版［CLF-C02］対応
をやりました。あとは, ping-tをやりました。

ping-tの方が範囲は豊富だから、これをやり込んでもいいのかも。

[proof] $f$ が正則であることから，Cauchy–Riemann 方程式が成立する：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.
\] 1本目を $x$ で，2本目を $y$ で微分すると，
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}, \qquad
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}.
\] 正則関数は $C^\infty$ 級であるから混合偏微分の順序が交換可能，すなわち
\[
\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}.
\] したがって，
\[
\Delta u
= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
= \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} – \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}
= 0.
\] 全く同様の議論により $\Delta v = 0$ も従う．\qedhere
[/proof] [proof] $f(z) = |f(z)|e^{i\arg f(z)}$だから
 \[ \log f(z) = \log|f(z)| + i\arg f(z), \]
[/proof]

 

[definiton] $\Omega \subset \mathbb{C}^2$とし, $\{v_k(z)\}$を$\Omega$で定義された関数列とする. このとき, $\{v_k(z)\}$が$K \subset \Omega$上で、上に一様有界であるとは、
ある$M>0$が存在して, 任意の$k\in \mathbb{Z}_{+}$, $z\in K$に対して$v_k(z)< M$ で或ることを言う.
[/definition] [proof] $K \subset \Omega$をコンパクト集合とする.  コンパクト集合$K_1$を、$K \subset K_1^o \subset K_1 \subset \Omega$を満たすようにできる.  この時, $K_1^o $を$\Omega$とみなすことで, $\{v_k(z)\}$が、$\Omega$上で、上に一様有界として良い. すると, $M >0$が存在して, $v_k(z)\leq M$ $(z\in \Omega, k=1,2,\ldots)$. さらに, 表記を簡単にするために一般性を失わずに, $v_k(z)$のかわりに, $v_k(z)-M$を考えることで, $v_k(z)\leq 0$ $(z\in \Omega, k=1,2,\ldots)$として良い. $r>0$を$K\subset \{z\in \Omega \mid d(z,\partial \Omega) >3r\}$となるように十分小さくとる($K\ni z \mapsto d(z, \partial \Omega)$は連続関数で、最小値が$0$の場合は$z \in \partial \Omega$になるからそうはならない. ). そこで,  平均値の定理の(劣調和関数の)不等式ver.から
$z\in K$, $0< \rho \leq r$に対して
\[
2\pi v_k(z) \leq \int_{0}^{2\pi} v_k(z + \rho e^{i \theta}) d\theta
\] が成り立つ. 上式に$\rho$をかけて$\rho$について$0$から$r$まで積分すると,
\[
\pi r^2 v_k(z) \leq \int \int_{\abs{z-z’}<r} v_k(z’) dx’ dy’ \quad (z’ = x’ + i y’)
\] が成り立ち, Fatouの補題と補題の仮定を使うと、
\[
\limsup_{k\to \infty}\int \int_{\abs{z-z’}<r} v_k(z’) dx’ dy’ \leq \int \int_{\abs{z-z’}<r} \limsup_{k\to \infty} v_k(z’) dx’ dy’ \leq \pi C r^2
\] ここで, $\limsup_{k\to \infty}$の性質に立ち返ると,
$z \in K$に対して, $k_0(z) \in \mathbb{Z}_+$が存在して, $\forall k \geq k_0(z)$に対して
\[
\int \int_{\abs{z-z’}<r} v_k(z’) dx’ dy’ \leq \pi (C + \frac{\varepsilon}{2}) r^2
\]

ところで, $0 < \delta < r$とすると, $\abs{z-w}<\delta$を満たす任意の$w$に対して
\[
\{z’ \mid \abs{z’-z}<r\} \subset \{z’ \mid \abs{z’-w}<r + \delta\}
\] $v_k \leq 0$と劣調和による不等式を使うと, $k \geq k_0(z)$ならば
\begin{align}
\pi (r + \delta)^2 v_k(w) & \leq \int \int_{\abs{z-z’}<r + \delta} v_k(z’) dx’ dy’ \\
& \leq \int \int_{\abs{z-z’}<r} v_k(z’) dx’ dy’ \leq  \pi (C + \frac{\varepsilon}{2}) r^2
\end{align}

よって, $k \geq k_0(z)$ならば
\[
v_k(w) \leq (r/(r+\delta))^2 (C+\frac{\varepsilon}{2})
\] $r$も$\delta$も, $z$や$k$に依存していないことに注意.

$\delta$を十分小さくとると,
$k \geq k_0(z)$ならば, $\abs{z-w}<\delta$の時に$v_k(w)  < C + \varepsilon$
が成り立つ.
ここで, $K$はコンパクト集合だから, $z^1,\ldots, z^m \in K$が存在して, $K \subset \bigcup_{i=1}^m B(z^i,\delta)$とできる. そこで, $N= \max_{1\leq i\leq m} k_0(z^i)$とする. そうすると, 任意の$w\in K$に対して,　$i \in \{1\leq i\leq m\}$ が存在して, $w\in B(z^i,\delta)$を満たし, 言い換えれば$\abs{w-z^i}<\delta$だから, 任意の$k > N$で$v_k(w) < C + \varepsilon$を満たす.
[/proof]

Schwartzの補題

[proof] $w_1 = f(z_1)$, $w_2 = f(z_2)$とおく. 一次分数変換$\Phi\colon B(0,r) \to B(0,1)$と$\Psi\colon B(0,M) \to B(0,1)$を
\[
\Phi(z)
= \frac{ r (z – z_1) }{ r^2 – \overline{z_1} z }, \quad \Psi(w)=
\frac{ M (w – w_1) }{ M^2 – \overline{w_1} w }
\]

によって定義する. $\Psi\circ f \circ \Phi^{-1}:B(0,1) \to B(0,1)$
は$0$を$0$に写す正則関数であるから, Schwartzの補題から,
$\abs{\Psi\circ f \circ \Phi^{-1}(z)}\leq \abs{z} $が成り立つ. $z=\Phi(z_2)$と置くと, $\abs{\Psi(w_2)}\leq \abs{\Phi(z_2)} $
[/proof]

有界な場合のHartogsの定理(これを2. で使う.)

[proof] $f(z)$は有界であるから, 或る$M>0$が存在して, $\abs{f(z)}\leq M$が成り立つ.
連続性は局所的な問題なので, $\Omega= P(0,r),\quad r=(r_1,\ldots,r_n)$としても問題ない.
ここで直前の補題を用いると,
\begin{align}
&\abs{f(z) – f(\xi)} = \abs{f(z_1,\ldots, z_n) – f(\xi_1,\ldots, \xi_n)} \\
&\leq \sum_{j=1}^n \abs{f(z_1,\ldots,\xi_{j-1},z_j,\ldots, z_n) – f(\xi_1,\ldots,\xi_j,z_{j+1} \ldots,\xi_n)} \\
&\leq \sum_{j=1}^n 2M \frac{r_j \abs{z_j – \xi_j}}{\abs{r_j^2-\overline{\xi_j}z_j}}
\end{align}
となるから、 $z\to \xi$で$f(z)\to f(\xi)$が成り立つ. よって ,$f(z)$は＄\Omega$で連続である. 従って, $f(z)$は＄\Omega$上で正則でもある.
[/proof]

ハルトークスの定理

というのがある。これは、多変数複素解析の場合は、各変数($z, w \mathbb{C}$)で偏微分可能ならば、多変数(複素)関数としての連続性もついてくるという主張である。
(多変数複素解析学入門: ヘルマンダーか一松 信の複素解析の本に載ってたと思います。)

変数の数$n$に関する帰納法で示す:
$n=1$の時は明らかである.
定理の$n-1$の場合が成り立つと仮定する. この仮定のもとで, 補題2つを示していく。

最初の定理は, 正則性がほんの小さいところでしか保証されていなくてもCauchyの積分定理、$n$成分を固定して$f$を冪級数展開した時の係数の強い有界性から導かれる.

[proof] 一般性を失わずに$z^0 = (z_1^0,\ldots, z_n^0)=(0,\ldots,0)$と仮定して良い. そこで, $P=P(0,R)$と置くことにする. Hartogs定理の帰納法の仮定から, $f(z’,z_n)$は$z’$の関数として正則だから,
\[
f(z) = \sum_{\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}=1}^{\infty} c_{\alpha}(z_n)(z’)^{\alpha}
\] と表すことができる.
(上式を偏微分するか, Cauchyの積分公式から冪級数展開するところに立ち返ればでてくることだが,) $c_{\alpha}(z_n)= D^{\alpha}f(0)/ \alpha !$である.
$0<q<r$に対して, $Q=B(0,q)\subset \mathbb{C}$と置く.
この時, Cauchyの積分公式から,
\[
c_{\alpha}(z_n) \alpha ! =D^{\alpha} f(0,z_n) = \frac{\alpha !}{(2\pi i)^{n-1}} \int_{\partial Q} \cdots \int_{\partial Q} \frac{f(\xi_1,\ldots, \xi_{n-1},z_n)}{\xi_1^{\alpha_1+1} \cdots \xi_{n-1}^{\alpha_{n-1}+1} } d\xi_1 \cdots d\xi_{n-1}
\] と表される. 積分記号下で, ディーバー作用素
\[
\frac{\partial}{\partial \bar{z}}
\frac{1}{2}
\left(
\frac{\partial}{\partial x}
+
i,\frac{\partial}{\partial y}
\right)
\] を作用させると, $\partial c_{\alpha} (z_n)/ \partial \overline{z_n} =0$となるから,
$c_{\alpha}(z_n)$は$z_n$の関数として正則である(後に, この関数の絶対値に$\log$を合成したものが劣調和で或ることを使う.).

さて, $R’, R_1, R_2$を$0<R_1<R_2<R'<R$を満たすようにとる.
固定した$z_n$に対して$f(z’,z_n)$は$z’ $の関数として$P_{n-1}=B(0,R)\times \cdots \time B(0,R) $($n-1$回)で正則であるから, $B’=B(0,R’)\subset \mathbb{C}$とすると,
\[
D^{\alpha} f(0,z_n) = \frac{\alpha !}{(2\pi i)^{n-1}} \int_{\partial B’} \cdots \int_{\partial B’} \frac{f(\xi_1,\ldots, \xi_{n-1},z_n)}{\xi_1^{\alpha_1+1} \cdots \xi_{n-1}^{\alpha_{n-1}+1} } d\xi_1 \cdots d\xi_{n-1}
\] が成り立つから, 絶対値を取って被積分関数をsupで抑えれば,
\[
\abs{D^{\alpha} f(0,z_n) } \leq alpha !(R’)^{-\abs{\alpha}}\sup_{z’ \in  P'(0,R’)}\abs{f(z’,z_n)}
\] 但し, $P'(0,R’) = $B(0,R’)\times \cdots \time B(0,R’) $.
固定した$z_n (\abs{z_n}<R)$に対して
\[
\abs{c_{\alpha}}R_2^{\abs{\alpha}} \leq  \abs{\frac{ R_2}{R’}}^{\abs{\alpha}}\sup_{z’ \in  P'(0,R’)}\abs{f(z’,z_n)}\to 0\quad(\abs{\alpha} \to \infty)
\] が成り立つから,
固定した$z_n (\abs{z_n}<R)$に対して$\abs{\alpha}$が十分大きいならば,
\[
\abs{c_{\alpha}}R_2^{\abs{\alpha}} <1
\] が成り立つ.
他方, 仮定から定数$M>0$が存在して, 任意の$z\in Q$に対して$\abs{f(z)}\leq M$が成立する. このことと$c_{\alpha}(z_n) $のCauchyの積分公式による表示から$\abs{c_{\alpha}(z_n)}\leq M/(q)^{\abs{\alpha}}$が成り立つ. $q \uparrow r$とすると,
任意の$\abs{z_n}<R$
\[
\abs{c_{\alpha}(z_n)} r^{\abs{\alpha}} \leq M
\] を得る.

ここで, $\abs{c_\alpha(z_n)}$を評価していく.
まず, 二つのmulti-index $\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})$, $\beta=(\beta_1,\ldots,\beta_n)$に対して次のような順序(辞書式順序)を入れる:
$\alpha < \beta$であるとは、ある$1\leq i \leq n-1$が存在して
\[
\alpha_1 = \beta_1,\ldots, \alpha_{i-1} = \beta_{i-1}, \alpha_i < \beta_i
\] が成り立つこととする.

$alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})$, $\abs{\alpha}\neq 0$に対して, $\varphi_{\alpha}(z_n)=(1/ \abs{\alpha})\log (\abs{c_{\alpha}(z_n)})$とする.
すると、 ハルトークスの定理1で示したように$c_{\alpha}(z_n)$の正則性から, $\abs{z_n}<R$における劣調和関数である. また, $\{v_k(z_n)\}$を上の辞書式順序で$\{ \varphi_{\alpha}(z_n) \}$を並び替えたものとする. この時, $k\to \infty$の時, $\abs{\alpha}\to \infty$である.
任意の$\abs{z_n}<R$
\[
\abs{c_{\alpha}(z_n)} r^{\abs{\alpha}} \leq M
\] を使うと,
$\abs{\alpha}\neq 0$, 任意の$\abs{z_n}<R$に対して,
\[
\varphi_{\alpha}(z_n)=\frac{1}{\abs{\alpha}} \log (\abs{c_{\alpha}(z_n)}) \leq -\log r + \frac{1}{\abs{\alpha}} \log M \leq -\log r + \log M
\] が成り立つから, $\{v_k(z_n)\}$は$\abs{z_n}<R$において上に一様有界である.

$\abs{\alpha}$を十分大きくとると,
\[
\abs{c_{\alpha}(z_n)}R_2^{\abs{\alpha}} <1
\] から
\[
\log \frac{\abs{c_{\alpha}(z_n)}}{\abs{\alpha}} < -\log R_2
\] が成り立つ. 言い換えると, $k$を十分大きくすると, $v_k(z_n)< – \log R_2$. つまり, $\limsup_{k\to \infty } v_k(z_n)\leq – \log R_2$がなりたつ.
1. での　上への一様有界性の補題から、 $k$を十分大きくとると, $v_k(z_n)\leq – \log R_1$が一様に$\abs{z_n}<R_1$で成り立つ.
言い換えれば、 $\abs{\alpha}$が十分大きければ,
\[
\abs{c_{\alpha}(z_n)}} R_1^{\abs{\alpha}} \leq 1 (\forall \abs{z_n}<R_1 )
\] が成り立つ($\log \abs{c_{\alpha}(z_n)}} \leq \log R_1^{\abs{\alpha}} $から対数をtとれば良い).

(一様収束性の証明ために)任意の$K\subset P(0,R)$をとる. ここで、 (必要があれば先ほどの$R_1$を縮めることで) $K \subset P(0,R’), R'<R_1$となるように$R’, R_1$を選ぶ.
今, 直前で示した
\[
\abs{c_{\alpha}(z_n)}} R_1^{\abs{\alpha}} \leq 1 (\forall \abs{z_n}<R_1 )
\] から
$z\in K$上で, $\abs{c_{\alpha}(z_n)}z’} \leq \abs{R’/R_1}^{\abs{\alpha}}$となるから, $\sum_{\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1}}c_{\alpha}(z_n) (z’)^{\alpha}$は$K$上で一様収束する. だから, $f(z)$は$K$上で連続である. $K$は任意であったから, $f(z)$は$P(0,R)$上で連続である. 従って, $f(z)$は$P(0,R)$で正則である.
[\proof]

 

下の証明の最後の最後までは, Cauchyの積分定理を使っていない. ここで言っているのは、あくまで、 $P$の(気持ちはすごく小さい或る特定の)部分集合$Q$では正則だと言っているだけ。 こういうすごく小さくてもいいから、条件を満たす集合を見つけたいときに時折Baireのカテゴリー定理がでてくる。

[proof] $E_M(z_n)=\{z’ \in  \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}} \mid \abs{f(z’,z_n)} < M\}$とし, $E_M = \bigcap_{z_n \in \overline{P_n}}E_M(z_n)$とする. 今, 帰納法の仮定から, Hartogsの定理は$n-1$では使えるから, $f(z’,z_n)$は$z’ \in \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}} $の連続関数である. 従って, 逆像を考えれば, 各$z_n \in \overline{P_n}$に対して $E_M(z_n)$は閉集合である. 言い換えれば, $\overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}} \setminus E_M(z_n)$は開集合である.
ところで, $w’ \in \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}$を任意にとると, $f(z’,z_n)$は$n$番目の変数$z_n$について正則, 連続だから, 或る$M \in \mathbb{Z}_{+}$が存在して, $\forall z_n \in \in \overline{P_n}$, $\abs{f(z’,z_n)} < M$である. つまり, $z’ \in E_M \subset \bigcup_{M\geq 1} E_M$である.
\[
\bigcup_{M\geq 1} E_M = \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}
\] である.
直近二つのこととBaireのカテゴリー定理を用いる:
今, $E_M\, (M=1,2,\ldots, \ldots)$が全て内点を持たないと仮定する.  この時, 各$M \in \mathbb{Z}_{+}$に対して, $F_M = ( \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}) \setminus E_M$は稠密な開集合である(位相空間$\overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}$にとって). 従って, Baireのカテゴリ定理から, $\bigcap_{M\geq 1} F_n$は稠密な集合になる. ところで, $\bigcap_{M\geq 1} F_n = ( \overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}) \setminus (\bigcup_{M\geq 1} E_M ) = \emptyset$だから, この両者の事柄は矛盾する.
よって, ある$M \in \mathbb{Z}_{+}$が存在して, $E_M$は内点をもつ. 多重円板$Q= Q_1 \times \dots \times Q_n$を$Q\subset E_M \times P_n$, $Q_n = P_n$となるように選ぶことができる($\overline{P_1} \times \overline{P_2} \times \dots \times \overline{P_{n-1}}) $に直積位相が入っていると思ってよく, $E_M$の内部は各座標による十分小さな開円盤$Q_1 \times \dots \times Q_{n-1}$に含まれることからわかる.).
結果として, 任意の$z\in Q$に対して, $\abs{f(z)}\leq M$が成り立つ.
そして, 二つ前の補題から, $f(z)$は$Q$で正則であることがわかる.
[/proof]

$\xi =(\xi_1, \ldots, \xi_n ) \in \Omega$を任意にとる. $R>0$を$P(0,R)\subset \Omega$を満たすようにとる. 直前の補題(を$P=P(\xi,R)$で使う)から, $r>0$, $z^0=(z_1^0,\ldots,z_n^0)\in P(\xi,R)$が存在して, $Q_j = B(z^0_j,r) (1\leq j \leq n-1)$と置くと,  $Q_j \subset R_j $ (1\leq j \leq n-1)$且つ $z_n^0 = \xi_n$が成り立ち, $f(z)$は$Q_1\times Q_{n-1}\times P_n (\subset P(\xi, R))$上で正則且つ有界である.  これと, Hartogsの定理の仮定である”$f(z)$は$P(z^0,R)$は各変数$z_j\, (1\leq j \leq n)$に関して正則である”ことからを合わせると二つ前の補題から,
$f(z)$は$P(z^0,R)$で正則になる. $\xi \in P(z^0,R)$だから, $f(z)$は任意の$\xi$で正則である.

オブジディアンデでtypstを使うプラグイン

https://github.com/azyarashi/obsidian-typst-mate

kaggle類似コンペをおしえてくれるサイト

1. 1. https://x.com/mlaass1/status/2003105470148751573?s=46&t=q8IJ0xCwJy-v1Y_EK5pIDg
      

      teeコマンドでMySQLの操作を記録する

      Theory and Applications of Distance Geometry

      by

      Leonard M. Blumenthal
      はhttps://warp.ndl.go.jp/web/20250903023058/https://warp.da.ndl.go.jp/contents/reccommend/world_wa/world_wa02.html
      internet Archiveで見られる。

LightGBM以外にもhttps://zenn.dev/mkj/articles/f7939cb221da14　のRealMLPを組み合わせるといいことが少し起こるかも。

 

\[
\varphi(\theta)
:= \frac{1}{d}\sum_{k=1}^d \cos \theta_k,
\qquad \theta = (\theta_1,\dots,\theta_d)\in \mathbb{R}^d.
\]

一次微分（勾配）
各成分について
\[
\partial_{\theta_j}\varphi(\theta)
= \partial_{\theta_j}\left(\frac{1}{d}\sum_{k=1}^d \cos\theta_k\right)
= -\frac{1}{d}\sin\theta_j.
\]

したがって勾配の二乗ノルムは
\[
|\nabla \varphi(\theta)|^2
= \sum_{j=1}^d \left(-\frac{1}{d}\sin\theta_j\right)^2
= \frac{1}{d^2}\sum_{j=1}^d \sin^2\theta_j.
\]

二次微分とラプラシアン
\[
\partial_{\theta_j}^2 \varphi(\theta)
= \partial_{\theta_j}\left(-\frac{1}{d}\sin\theta_j\right)
= -\frac{1}{d}\cos\theta_j.
\]

よってラプラシアンは
\[
\Delta \varphi(\theta)
= \sum_{j=1}^d \partial_{\theta_j}^2 \varphi(\theta)
= -\frac{1}{d}\sum_{j=1}^d \cos\theta_j
= -\varphi(\theta).
\]

合成関数の公式
\[
\Delta(f^n)
= n(n-1)f^{\,n-2}|\nabla f|^2
+ n f^{\,n-1}\Delta f
\] を \(f=\varphi\) に適用すると
\[
\Delta \varphi^n(\theta)
= n(n-1)\varphi^{n-2}(\theta)\,
\frac{1}{d^2}\sum_{j=1}^d \sin^2\theta_j
+ n\varphi^{n-1}(\theta)\,(-\varphi(\theta)).
\]

整理して
\[
\boxed{
\Delta \varphi^n(\theta)
= n(n-1)\varphi^{n-2}(\theta)
\left(\frac{1}{d^2}\sum_{j=1}^d \sin^2\theta_j\right)
– n\varphi^n(\theta)
}
\]

$d$ 次元変数 $\theta \in \mathbb{R}^d$ に対して、

\[
G_n(\theta) = \exp\left(- \frac{n}{2d} |\theta|^2 \right), \quad |\theta|^2 = \sum_{j=1}^d \theta_j^2
\]

を考える。

任意の滑らかな関数 $f:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ に対して、

\[
\Delta e^f = (\lvert \nabla f \rvert^2 + \Delta f) e^f
\]

が成り立つ。ここで

\[
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial \theta_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial \theta_d} \right), \quad
\Delta f = \sum_{j=1}^d \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_j^2}.
\]

$f(\theta) = – \frac{n}{2d} |\theta|^2$ とすると、

\[
\frac{\partial f}{\partial \theta_j} = – \frac{n}{d} \theta_j \quad \Rightarrow \quad
|\nabla f|^2 = \sum_{j=1}^d \left( -\frac{n}{d} \theta_j \right)^2 = \frac{n^2}{d^2} |\theta|^2,
\]

\[
\frac{\partial^2 f}{\partial \theta_j^2} = – \frac{n}{d} \quad \Rightarrow \quad
\Delta f = \sum_{j=1}^d \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_j^2} = -n.
\]

上記の式を用いると、

\[
\Delta G_n(\theta) = (\lvert \nabla f \rvert^2 + \Delta f) e^f
= \left( \frac{n^2}{d^2} |\theta|^2 – n \right) \exp\left(- \frac{n}{2d} |\theta|^2 \right)
= \left( \frac{n^2}{d^2} |\theta|^2 – n \right) G_n(\theta).
\]

\[
\text{スケーリング: } \theta = \frac{\alpha}{n}
\]

${\Delta \varphi}_n$ の展開:
\[
\varphi\Big(\frac{\alpha}{n}\Big) = 1 – \frac{|\alpha|^2}{2dn} + O(n^{-2})
\] \[
\varphi^{\,n-2}\Big(\frac{\alpha}{n}\Big) \approx e^{-|\alpha|^2 / 2d}
\] \[
\sum_{j=1}^d \sin^2\Big(\frac{\alpha_j}{n}\Big) = \sum_{j=1}^d \left(\frac{\alpha_j^2}{n^2} + O(n^{-4})\right) = \frac{|\alpha|^2}{n} + O(n^{-2})
\]

 

\begin{align}
\phi\!\left(\frac{\alpha}{n}\right)
&= 1 – \frac{|\alpha|^2}{2d n} + O(n^{-2}), \\
\phi^n\!\left(\frac{\alpha}{n}\right)
&= \left( 1 – \frac{|\alpha|^2}{2d n} + O(n^{-2}) \right)^n
\approx e^{- \frac{|\alpha|^2}{2d}} \left( 1 + O(n^{-1}) \right).
\end{align}

これらを $\Delta {\varphi}_n$ に代入すると：
\[
\Delta \varphi_n\Big(\frac{\alpha}{n}\Big)
\approx n(n-1) \cdot e^{-|\alpha|^2 / 2d} \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{|\alpha|^2}{n} – n \, e^{-|\alpha|^2 / 2d}
\] \[
= \left(n \frac{d}{2} |\alpha|^2 – n\right) e^{-|\alpha|^2 / 2d} + O(1)
\]

${\Delta G}_n$ の展開:
\[
\Delta G_n\Big(\frac{\alpha}{n}\Big) = \left(\frac{d}{2} n^2 \frac{|\alpha|^2}{n} – n\right) e^{-|\alpha|^2 / 2d} = \left(n \frac{d}{2} |\alpha|^2 – n\right) e^{-|\alpha|^2 / 2d}
\]

差のオーダーは：
\[
\Delta \varphi_n\Big(\frac{\alpha}{n}\Big) – \Delta G_n\Big(\frac{\alpha}{n}\Big) = O(1)
\] である。
主要な  $O(n) $項はキャンセルされ、残るのは $O(1) $項のみである。

結果、

\[
\begin{aligned}
|x|^2E(n,x)
&=  (2\pi)^{-d}
\int_{[-\pi,\pi]^d}
e^{-i x \cdot \theta} \,
\Biggl[
-\Delta_\theta
\Bigl( \varphi_n(\theta) – G_n(\theta) \Bigr)
\Biggr] \, d\theta \\
&\quad \overset{\theta = \alpha / \sqrt{n}}{=}
(2\pi)^{-d}
\int_{[-\pi \sqrt{n}, \pi \sqrt{n}]^d}
e^{-i x \cdot (\alpha / \sqrt{n})} \,
\Biggl[
-\Delta_\alpha
\Bigl( \varphi_n(\alpha / \sqrt{n}) – G_n(\alpha / \sqrt{n}) \Bigr)
\Biggr] \, n^{-d/2} \, d\alpha
= O(n^{-d/2})
\end{aligned}
\]

参考:

Intersections of Random Walks (Modern Birkhäuser Classics) (English Edition) 

さらに, $\{F_1, \ldots, F_k, 1_{\Omega}\}$が一次独立である事を仮定する。
この仮定の下で, $k+1 \leq n$である.

前回のことから、$S$自身が指数分布族であることがわかる($C=0$, $F_i = \delta_i$としたらそうなる。)。

[proof] 先ず, $S$は双対平坦だから、勿論平坦である。
ここで、任意の部分多様体に対して, $\nabla^{(e)}$- 自己平行部分多様体であるためのiff 条件は, その部分多様体($\{\eta_j\}_{1\leq j \leq k}$)が$S$の$\nabla^{(e)}$- アファイン座標系$(\theta_i)_{1\lrq i \leq n-1}$のアファイン部分空間に対応することである。
そこで、
$M$が指数分布族と仮定する。
この時, 部分空間であることから,
\[
C(\omega) + \sum_{j=1}^k \eta F_j(\omega) – \varphi(\eta) = \sum_{i=1}^{n-1} \theta^i(\eta) \delta_i(\omega) -\psi(\theta(\eta))
\] が任意の$\omega \in \Omega$成立する. そこで, $\eta_{\beta} \,(1\leq \beta \leq k)$で偏微分すると,
\[
\sum_{j=1}^k \eta F_j(\omega) -\frac{\partial \varphi(\eta)}{\partial \eta_\beta}(\eta) = \sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial theta^i(\eta) }{\partial \eta_\beta} \\delta_i(\omega) –  \sum_{i=1}^{n-1} \frac{ \partial \psi(\theta(\eta))}{\partial \theta^i}(\theta(\eta)) \frac{\partial \theta^i}{\partial \eta_\beta}(\eta)
\] となり,
\[
F_\beta = \sum_{i=1}^{n-1} f_i^\beta \delta_i(\omega)
\]

と表せるから、 一次独立性から

$1\leq i \leq n$に対して,
\[
f_i = \frac{\partial \theta^i}{\partial \eta_\beta}
\] だから, $\theta^i(\eta)$は$\eta$の一次式で表すことができることがわかった。これは逆に辿れる。
[/proof]

[proof] 上でおいた写像写像$\theta \mapsto \eta$のJacobi行列を計算する:
$$
\begin{align}
\frac{\partial \eta_i}{\partial \theta^j}
&= \sum_{\omega \in \Omega} \left( \partial_j p_{\theta}(\omega)\, F_i(\omega) \right) \\
&= \sum_{\omega \in \Omega} \left( \partial_j p_{\theta}(\omega)\, (\partial_i \log p_{\theta}(\omega)) \right)
\end{align}
[/proof]

先ほどまでのところで、双対アファイン座標系をみつけることができた。ここからは、みつけたアファイン座標系に対応する双対ポテンシャルを見つける。
実は、1. ででてきた$\psi$が$\theta$-座標系のポテンシャル関数である。
実際, 合成関数の微分と, $\theta^i$の定義, $\eta_i$の定義から
\[ \partial_i \psi = \frac{\exp{\theta^i}}{1 + \sum_{j=1}^{n-1}\exp{\theta^j}}= p(n)\exp{\theta^i} = p(i) = \eta_i\]

$p(i)=\eta_i$に注意すると,
\begin{align}
\phi(\eta)
&= \theta^i \eta_i – \psi(\theta) \\[4pt] &= \sum_{i=1}^{n-1} \left( \log \frac{p(i)}{p(n)} \right) p(i) + \log p(n) \\[4pt] &= \sum_{i=1}^{n-1} p(i)\log p(i)
+ \left(1 – \sum_{i=1}^{n-1} p(i)\right)\log p(n) \\[4pt] &= \sum_{i=1}^{n-1} \eta_i \log \eta_i
+ \left(1 – \sum_{i=1}^{n-1} \eta_i\right)
\log\left(1 – \sum_{i=1}^{n-1} \eta_i\right) \\
& = \sum_{\omega =1}^n p(\omega)\log p(\omega)
\end{align}

である。
そこで,
\[
\partial_i \phi = \log \eta_i + 1 – \log \left( 1 – \sum_{i=1}^{n-1} \eta_i \right) -1 = \log\left( \frac{p(i)}{p(n)}\right) = \theta^i
\] となる。(ここで, 二個目の$\log$は$p(n)$になる。)

$\nabla^*$-ダイバージェンスを計算する。
双対接続と、ダイバージェンスの対応から、
\[
D^{*}(p||q) = D(q||p)
\] であるから, $\nabla^{(m)}$のダイバージェンスは, $\psi(\theta)=- \log p(n)$, $\varphi(\eta)= \sum_{\omega =1}^n p(\omega)\log p(\omega)$であったこと, $\theta^i=\log \frac{p(i)}{p(n)}$であったことを思い出すと,
\begin{align}
D^{(m)}(p \| q)
&= \psi(\theta(q)) + \varphi(\eta(p)) – \theta^i(q)\eta_i(p) \\
&= – \log q(n)
+ \sum_{\omega = 1}^n p(\omega)\log p(\omega)
– \sum_{i = 1}^{n-1} \left( \log \frac{q(i)}{q(n)} \right) p(i) \\
&= \sum_{\omega = 1}^n p(\omega)\log p(\omega)
– \sum_{i = 1}^{n-1} p(i)\log q(i)
– \left( 1 – \sum_{i = 1}^{n-1} p(i) \right)\log q(n) \\
&= \sum_{\omega = 1}^n p(\omega)\log \frac{p(\omega)}{q(\omega)}.
\end{align}