Hausdorff 測度
Hausdorff測度の定義周辺
Hausdorff測度の定義
$(X,d)$を距離空間とする. 任意の$0\leq s < \infty$に対して, $0<\delta \leq \infty$, $A\subset X$における量
\[\mathcal{H}^s_{\delta}(A):=\inf\{\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_s\left( \frac{\diam E_n}{2}\right)^s; A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n,\,\diam E_n < \delta\}\]
を定義しておく.
命題
$\mathcal{H}^s_{\delta}(\cdot)$は外測度である.
Proof
- $\{\emptyset\}$が$\emptyset$の被覆となっているから, $\mathcal{H}^s_{\delta}(\emptyset)\leq \abs{\emptyset}^s=0$. 逆の不等号は, $\mathcal{H}^s_{\delta}(\cdot)$の定義から明らか.
- $E \subset F$に対して, $F$の$\delta$-covering$\{U_i\}_i$を任意にとってこれば, $E$の$\delta$-coveringにもなっている. したがって, \[\mathcal{H}^s_{\delta}(E)\leq \sum_{i=1}^{\infty}\abs{U_i}^s\]であって, $\mathcal{H}^s_{\delta}(E)\leq \mathcal{H}^s_{\delta}(F)$がわかる.
- $\{F_i\}_i$を任意の集合列とする. もし, $\sum_{i=1}^{\infty}\mathcal{H}^s_{\delta}(F_i)=\infty$ならば可算劣加法性は明らか. そこで, $\sum_{i=1}^{\infty}\mathcal{H}^s_{\delta}(F_i)< \infty$と仮定する. このとき, $\mathcal{H}^s_{\delta}(F_i)$の定義から, 任意の$\varepsilon >0$に対して, $F_i$の$\delta$-covering$\{U^i_j\}_j$で \[\sum_{i=1}^{\infty}\abs{U^i_j}^s<\mathcal{H}^s_{\delta}(F_i) +\frac{\varepsilon}{2^{i}} \]となるような集合列$\{U^i_j\}_{i,j}$がとれる. このとき集合列$\{U^i_j\}_{i,j}$は$\bigcup_{i=1}^{\infty}F_i$の$\delta$-coveringとなっているのことに注意すれば, \begin{align}
\mathcal{H}^s_{\delta}(\bigcup_{i=1}^{\infty}F_i)& \leq \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty} \abs{U^i_j}^s\\
&<\sum_{i=1}^{\infty} \left(\mathcal{H}^s_{\delta}(F_i) +\frac{\varepsilon}{2^{i}}\right)\\
&\leq \sum_{i=1}^{\infty} \mathcal{H}^s_{\delta}(F_i) +\varepsilon .
\end{align}
$\varepsilon>0$が任意のなのだから, $\mathcal{H}^s_{\delta}(\bigcup_{i=1}^{\infty}F_i) \leq sum_{i=1}^{\infty} \mathcal{H}^s_{\delta}(F_i).$
注意
各$A\subset X$に対して, 関数$\delta \mapsto \mathcal{H}^s_{\delta}(A)$は単調減少関数である.
注意のことを踏まえれば,
\[\mathcal{H}_{o}^s(A):=\lim_{\delta \downarrow 0}\mathcal{H}^s_{\delta}(A)=\sup_{\delta >0 }\mathcal{H}^s_{\delta}(A)\]は存在し, $\mathcal{H}_{o}^s(A)$を$A$の$s$-次元Hausdorff外測度という. $\infty$もとる可能性が(勿論)あることに注意.
命題
$F\subset X$とし, 写像$f\colon F \to Y$が, $C>0,\,\alpha>0$を定数として, 任意の$ x,\,y \in F$で
\[d(f(x),f(y))\leq Cd(x,y)^{\alpha}\]
が成り立つとする. この時, 各$s>0$に対して,
\[\mathcal{H}_o^{s/\alpha}(f(F))\leq C^{s/\alpha}\mathcal{H}_o^s(F)\]
が成り立つ.
Proof
$\{U_i\}$を$F$の$\delta$-coverとすると, 仮定により, ($d(x,y)\leq \sup_{x,y \in F\cap U_i}d(x,y),\,(\forall x,y \in F\cap U_i )$に注意して)
\[\sup_{x,y \in F\cap U_i}d(f(x),f(y)) \leq C \sup_{x,y \in F\cap U_i}d(x,y)^{\alpha} \leq C \left(\sup_{x,y \in F\cap U_i}d(x,y)\right)^{\alpha} .\]
$\varepsilon :=C\delta^{\alpha}$とおくと, $\{f(F\cap U_i)\}_i$は$f(F)$の$\varepsilon$-coverとなっている. 更に,
\[\sum_{i=1}^{\infty}\abs{f(F\cap U_i)}^{s/\alpha}\leq C^{s/\alpha} \sum_{i=1}^{\infty}\abs{U_i}^s \]に注意することで,
\[\mathcal{H}^{s/\alpha}_{\varepsilon}(f(F))\leq C^{s/{\alpha}}\mathcal{H}^s_{\delta}(F)\]が分かり, $\delta \to 0$とすることで$\varepsilon \to 0$なのだから主張が示されたことになる.
系
$f\colon X\to X$が等長写像であれば, $\mathcal{H}^s(f(F))=\mathcal{H}^s(F)$である. このことから, Hausdorff測度が平行移動不変なこと(f(x):=x+z), $X:=R^d$上で考えれば回転不変なこともでてくる.
Borel-集合が, 外測度$\mathcal{H}_{o}^s(\cdot)$に関して可測なことを一般論を援用して示す. そのために言葉を用意しておく.
定義
距離空間$(X,d)$にたいして, $X$上の外測度$\mu$がmetric outer measureであるとは, $\dist(A,B)>0$をみたす任意の$A,B\subset X$に対して, $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$が成り立つことをいう.
命題
$\mathcal{H}_{o}^s(\cdot)$はmetric outer measureである.
Proof
$\delta_0:=\dist(A,B)>0$をみたす任意の$A,B\subset X$をとる. $\{C_j\}_j$を$\abs{C_j}<\delta<\frac{\delta_0}{4}$を満たす$A\cup B$のcoveringとする. このとき各$C_j$は$A, B$のいずれか一方としか交わりえない. そこで, $\{C_j\}$を$A\subset \bigcup_{j}C^{A}_j,\,B\subset \bigcup_{j}C^{B}_j$に(完全に)分けると,
\[\mathcal{H}_{o}^s(A)+\mathcal{H}_{o}^s(B)\leq \sum_{j=1}^{\infty}\abs{C^A_j}^s+\sum_{j=1}^{\infty}\abs{C^B_j}^s=\sum_{j=1}^{\infty}\abs{C_j}^s \]が分かり,
すべての$\{C_j\}$にわたって下限をとれば,
\[\mathcal{H}_{o}^s(A)+\mathcal{H}_{o}^s(B)\leq \mathcal{H}_{o}^s(A \cup B)\]がわかる.
定理
$\mu$がmetric outer measure であるとする. このとき, すべてのBorel集合は$\mu^{\star}$-可測である.
Proof
任意の閉集合$F$が$\mu^{\star}$-可測であることを示せば十分.
定理
- \[\mathcal{H}^s_{\delta}(A)=\inf\{\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_s\left( \frac{\diam F_n}{2}\right)^s; A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}F_n,\,\diam F_n < \delta\,\, F \subset_{\mathrm{closed}} X\}\]
- \[\mathcal{H}^s_{\delta}(A)=\inf\{\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_s\left( \frac{\diam F_n}{2}\right)^s; A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}F_n,\,\diam F_n < \delta\,\, F \subset_{\mathrm{convex}} X\}\]
- \[\mathcal{H}^s_{\delta}(A)=\inf\{\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_s\left( \frac{\diam F_n}{2}\right)^s; A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}F_n,\,\diam F_n < \delta\,\, F \subset_{\mathrm{open}} X\}\]
