多様体$M$の$(0,2)$型テンソル場$g$であって, 各点$p\in M$で$g_p$が$T_pM$の内積となっているものをRiemann計量といい, Riemann計量$g$が与えられた多様体$M$のことをRiemann多様体と呼んだことを思い出す。
Riemann 多様体は、$(M,g)$の各座標近傍$(U;x^1,\ldots,x^n)$において、
\[ \Gamma_{ij,k} := \Gamma_{ij}^{l}g_{lk}= \frac{1}{2} (\partial_i g_{j,k} + \partial_j g_{k,i} – \partial_k g_{i,j} )\]である$M$のAffine接続をRiemann接続、Levi-Civita接続という。また、この接続が定める$M$上の平行移動をLevi-Civita平行移動という。
各座標近傍において, 上で定義された関数の組$\{ \Gamma_{ij}^{l} \}$がAffine接続を定めること, すなわち座標変換規則をみたす。これは、たとえば服部多様体 p.196に載っている。が、一応昔示したノートがあったので貼っとく。（一応自分でも確かめてみてください）
なんか内積の座標変換表示と逆行列の座標変換行列を用いて、元の座標でどう$\Gamma_{ij,k}$が書けるかをみてる感じです。
$\Gamma_{ij,k}$は$\nabla_{\partial_i}\partial_j$と$\partial_k$の内積
$\Gamma_{ij,k}=\Gamma_{ij}^{l}g_{lk} = g(\nabla_{\partial_i}\partial_j, \partial_k)$である。実際,
\[ g(\nabla_{\partial_i}\partial_j, \partial_k)= g( \Gamma_{ij}^{l}g_{lk}, \partial_k )= \Gamma_{ij}^{l} g(\partial_l, \partial_k )=\Gamma_{ij}^{l} g_{lk}\]
\[ \partial_kg_{ij}-\Gamma_{ki,j}-\Gamma_{kj,i}=0\]
\[ 2(\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i})=\{ (\partial_k g_{j,j} + \partial_j g_{k,j} – \partial_j g_{k,i} )+ (\partial_k g_{j,i} + \partial_j g_{k,i} – \partial_i g_{k,j} ) \}=2\partial_kg_{ij} \]
\[Xg(Y,Z)=\sum_{k=1}^{n}X^k\left( \frac{\partial}{\partial x^k} \right) g(\sum_{i=1}^{n}Y^i \left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right) ,\sum_{j=1}^{n}Z^j\left( \frac{\partial}{\partial x^j} \right) )= \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X^k Y^i Z^j (\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i})\]
ここで,
\[ X^k Y^i\Gamma_{ki}^{l}g_{lj}= g(\nabla_{(X^k \frac{\partial}{\partial x^k} )} (Y^i \frac{\partial}{\partial x^i}) , \partial_j) \]
ここで,
\[ X^k Z^j\Gamma_{kj}^{l}g_{li}= g(\nabla_{(X^k \frac{\partial}{\partial x^k} )} (Z^j \frac{\partial}{\partial x^j}) , \partial_i) \]
だから、結果として,
\[ Xg(Y,Z)=g(\nabla_X Y,Z) + g(\nabla_X Z,Y) \]