(3.4)みたいにやれば、四行目の二つ目のイコールはわかる。
$(x_i)_{1\leq i \leq n}$は$N$の$\nabla$-Affine 座標系であったから、$\Gamma_{i,j}^k = 0$を満たすので、結局
\[ \frac{\partial^2 x^k}{\partial {\xi}^{\alpha} \partial {\xi}^{\alpha} } = 0 \]
$\nabla_{\partial_a}^{\partial_b} = 0$ならば、直和的に 直交補空間も$0$.
Affine 接続$\nabla$をもつRiemann多様体$(M,g)$において,
\[ Xg(Y,Z) = g(\nabla_{X}{Y} , Z) + g(Y , \nabla^*_{X}{Z}) \] で定義されるアファイン$nabla^*$を計量$g$に関する$nabla$の双対アファイン接続という。
すべての$Y \in \xi(M)$に対して$g(Y,Z)=0$と$Z=0$からわかる。
↑は、$g(Z,Z)=0$から$Z=0$になることからわかる。
\[ Xg(Y,Z) = g(\nabla_{X}{Y} , Z) + g(Y , \nabla`^*_{X}{Z}) \] \[ g(Y , \nabla^*_{X}{Z}) =g(Y , \nabla`^*_{X}{Z}) \]
\[ g(Y , \nabla^*_{X}{Z}- \nabla`^*_{X}{Z}) = 0 \]
$X(f g(Y,Z))= (Xf)g(Y,Z) + fXg(Y,Z)$を使うと、
[begin{align}]
[\end{align}]
[Xg(Y,Z)= g( \nabla^*_{X}{Y}), Z)+ g(Y,( \nabla^*_X)^* Z) = g( \nabla_{X}{Z}), Y)+ g(Z,( \nabla^*_X) Y)] ここで、一般に、$Xg(Y,Z)=Xg(Z,Y)$だから、
$g(Y, \nabla^*_X)^* Z- \nabla_X) Z)=0$, したがって$\nabla^*_X)^*= \nabla$
$(\nabla g)(X,Y,Z)$を
\[ (\nabla g)(X,Y,Z) = Xg(Y,Z)-g(\nabla_X Y,Z)-g(Y,\nabla_X Z)\]
で定義する。一項目と二項目を眺めると、$\nabla^*$の定義から、これは, \[ (\nabla g)(X,Y,Z) = g(\nabla^*_X Y,Z)-g(\nabla_X Y,Z)\] であることがわかる。この量は、接続$\nabla$がどのくらい計量的でないかを測るテンソル量である。
$\nabla^*$, $ \nabla$を互いに双対な接続とする。次の四条件のうち、任意の二条件を仮定すると、残り二条件が成立する。
$ \nabla$のTorsionが$0$.
$ \nabla^*$のTorsionが$0$.
$(\nabla g)(X,Y,Z)$は$X,Y,Z$に関して対称である.
$\overline{\nabla}=\frac{\nabla^* + \nabla}{2}$はRiemannian connectionである.
つぎのすぐに示すことのできるLemmaを使う。
$\nabla^*$, $ \nabla$を互いに双対な接続とし、対応するTorsionを$T_{\nabla^*}, T_{\nabla}$とおくと、
\[T_{\nabla^*}+T_{\nabla} = 2T_{\overline{\nabla}}\]
上記の$(\nabla g)(X,Y,Z)$の変形を使うと、
\begin{align}
&(\nabla g)(X,Y,Z)-(\nabla g)(Y,X,Z)\\
&=g(\nabla^*_X Y-\nabla^*_Y X,Z)-g(\nabla_X Y- \nabla_Y X,Z)\\
&=g(T^{*}(X,Y),Z)-g(T(X,Y),Z)
\end{align}
となる。最後の等号は、$[X,Y]$は接続に依らないから, $-g([X,Y],Z)+g([X,Y],Z)=0$であることを使った。
そこで、(i),(ii)を仮定すると, 今の変形から直ちに(iii)を導くことができる。
また、$\overline{\nabla}$は常に計量的であって, 且つ仮定と直前の補題から, $\overline{\nabla}$はTorsionが$0$である. したがって, (iv)が得られる.
次に(i),(iii)を仮定すると, 上記の$(\nabla g)(X,Y,Z)$の変形から, (ii)を得る. したがって, (i),(ii)から再び(iv)が導かれる。(ii), (iii)を仮定した場合は、(i)を得られて、同じように(iv)を最終的に得る。
次に, (i),(iv)を仮定すると, $\nabla^*=2\overline{\nabla}-\nabla$（補題）から(ii)が得られる. すると、再び上記の$(\nabla g)(X,Y,Z)$の変形を用いることで(iii)を得る.(ii), (iv)の場合も同じ。
最後に, (iii), (iv)を仮定する. まず, (iii)と上記の$(\nabla g)(X,Y,Z)$の変形から, 変形の最初の部分が$0$になるのだから,
\[g(T^{*}(X,Y)-T(X,Y),Z)=0\]
を得る. 一方, 補題から, $T_{\nabla^*}+T_{\nabla} = 2T_{\overline{\nabla}}$だから(iv)により,
\[g(T^{*}(X,Y)+T(X,Y),Z)=g(2T_{\overline{\nabla}},Z)=2g(T_{\overline{\nabla}},Z)=0\]
だから, $T^{*}(X,Y)=T(X,Y)=0$がわかる.
[/proof]