$\alpha$-接続

$((f_*)T) (X,Y) = T((df)_*X,(df)_*Y)$ ($X, Y \in T_p\mathcal{S}_{n-1}$)は, $(df)_* \colon T_p\mathcal{S}_{n-1} \to T_p\mathcal{S}_{l-1}$ ($n\leq l$)による$\mathcal{S}_{n-1}$上の$(0,2)$テンソルである.
さて, 計量$g$を持っている場合テンソルを上げ下げ($T$と$S$の一対一対応)できるのであった。
だから,
$g_p^{[l]}(T(X, Y),Z)=S_p^{[n]}(X,Y,Z)$と, $g_{f(p)}^{[l]}(((df)_*T)((df)_*X, (df)_*Y),(df)_*Z)=S_p^{[n]}((df)_*X,(df)_*Y,(df)_*Z)$

だから, $(0,3)$テンソルの仮定は, $(0,2)$テンソルのChentsovの定理(に$T$を代入して存在)の仮定でいう
\[
g_p^{[l]}(T(X, Y),Z) = g_{f(p)}^{[l]}(((df)_*T)((df)_*X, (df)_*Y),(df)_*Z)
\] を導く.

ここで, $T(X,Y)= \overline{\nabla_X^{[n]}}Y$とする ($ \overline{\nabla^{[n]}}$は計量$g$に付随するRiemanian接続. ).
このとき, 次のようにして, $(0,2)$テンソルの Chentsovの定理から,
\[
g_p^{[l]}(T(X, Y),Z) = g_{f(p)}^{[l]}(((df)_*T)((df)_*X, (df)_*Y),(df)_*Z)
\]

が導ける.

それには, $\Gamma_{ij,k}=\frac{1}{2}(\partial_i g_{jk} +\partial_j g_{ki} + \partial_k g_{ij})$
を用いて,
\begin{align}
g_{f(p)}^{[l]}\!\left( \overline{\nabla^{[l]}_{(df)_*X}}(df)_*Y ,(df)_*Z \right)
&= \frac12 \Big\{
((df)_*\partial_i)\, g_{f(p)}^{[l]}\big((df)_*\partial_j, (df)_*\partial_k\big) \\
&\quad + ((df)_*\partial_j)\, g_{f(p)}^{[l]}\big((df)_*\partial_k, (df)_*\partial_i\big)
+ ((df)_*\partial_k)\, g_{f(p)}^{[l]}\big((df)_*\partial_i, (df)_*\partial_j\big)
\Big\} \\
&= \frac12 \Big\{
\partial_i\, g_{p}^{[n]}(\partial_j, \partial_k)
+ \partial_j\, g_{p}^{[n]}(\partial_k, \partial_i)
+ \partial_k\, g_{p}^{[n]}(\partial_i, \partial_j)
\Big\} \\
&= g_{p}^{[n]}\big( \nabla^{[n]}_{X} Y , Z \big).
\end{align}

この上で, $T(X,Y)= \nabla_X^{[n]}Y- \overline{\nabla_X^{[n]}}Y$から導かれる$(0,3)$テンソルの不変性から,
\[
g_p^{[n]}(\nabla_X^{[n]}Y- \overline{\nabla_X^{[n]}}Y,Z)= -\frac{\alpha}{2}S_p^{[n]}(X,Y,Z)
\] をみたす. つまり, $(\nabla^{[n]}$と$\alpha$が一対一に対応する.

ここまでの一連の示したことを、定理の形に書くと次のようになる。