ここからは, $4$つ組$(S,g,\nabla^{(e)},\nabla^{(m)})$を統計多様体という.
\[
p(\omega) = \sum_{a=1}^{n-1}\\eta_i \delta_i(\omega) + (1 – \sum_{a=1}^{n-1} \eta_i ) \delta_n(\omega)
\]
は, $\nabla^{(-1)}=\nabla^{(m)}$- アファイン座標系であることをみた.
\[
\frac{\partial}{\partial \xi^a}p(\omega) = \delta_a(\omega) – \delta_n(\omega)
\]
だから, $\nabla^{(m)}$の接続係数
\[
\Gamma_{ij,k}^{(m)} =\Gamma_{ij,k}^{(-1)} =\sum_{\omega=1}^n (\partial^i \partial^j p(\omega)) (\partial^k \log p(\omega)) =0
\]
が$1\leq i,jk,\leq n-1$で成立する.
ユークリッドの接続では, 大域的にクリストッフェル記号が$0$だから, 接続$\nabla^{(m)}$は, ユークリッド接続を$S$に制限してものに一致する.
そこで, $(\eta_i)$の双対アファイン座標系をみる. $\nabla^{(e)}=\nabla^{(+1)} $の接続係数
\[
\Gamma_{ij,k}^{(e)} =\Gamma_{ij,k}^{(1)} =\sum_{\omega=1}^n (\partial_i \partial_j \log p(\omega)) (\partial_k p(\omega))
\]
の形から, $\log p$を見る必要があることがわかる.
そこで, $\log p$を書き換える.
任意の$1 \leq \omega \leq n-1$に対して,
\[
\log p(\omega) = \sum_{i=1}^{n-1} \left( \log \frac{p(i)}{p(n)}\right) + \log p(n)
\]
と書き直せる. これは, 任意の$1 \leq i \leq n-1$に対して, $ \log p(n) \delta_i(\omega)=0$であることから, $\sum_{i=1}^{n-1} \log p(n) \delta_i(\omega)=0$であることからわかる.
ここで, 任意の$1 \leq i \leq n-1$にたいして,
\[
\theta^i := \log \frac{p(i)}{p(n)}
\]
とおく. 確率分布であること$\sum_{\omega =1}^n p(\omega) =1$と $e^{\theta^i }=\frac{p(i)}{p(n)}$から$\sum_{i=1}^{n-1}e^{\theta^i }=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{p(i)}{p(n)}$であることに注意すると,
\[
1+\sum_{i=1}^{n-1}e^{\theta^i } = 1+ \frac{\sum_{i=1}^{n-1} p(i)}{p(n)} = \frac{\sum_{i=1}^{n} p(i)}{p(n)} = \frac{1}{p(n)}
\]
したがって,
\[
p(n) =\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n-1}e^{\theta^i }}
\]
という関係式が成り立ち,
前の方にあった$\log p(\omega)$は
\[
\log p(\omega) = \sum_{i=1}^{n-1} \theta^i \delta_i(\omega) – \log \left( 1+\sum_{i=1}^{n-1}e^{\theta^i } \right)
\]
であることがわかる.
更に, この式の右側の部分を$\psi$とおく: つまり,
\[
\psi(\theta) := \log \left( 1+\sum_{i=1}^{n-1}e^{\theta^i } \right) = -\log p(n)
\]
とおく.
こうすると, 結局のところ, $\log p(\omega)$は
\[
\log p(\omega) = \left( \sum_{i=1}^{n-1} \theta^i \delta_i(\omega) \right) – \psi(\theta)
\]
と書ける.
ここで, $\theta = (\theta^1, \ldots, \theta^{n-1})$を$S$の座標系として計算をする.
$\partial_j \log p(\omega) = \delta_j(\omega) -\partial_j \psi(\theta)$であって, $\partial_i \partial_j \log p(\omega) = -\partial_i \partial_j \psi(\theta)$である. つまり, $\partial_i \partial_j \log p(\omega) $は$\omega$に依存しない. だから, この座標系での接続係数は,
\[
\Gamma_{ij,k}^{(e)}= – (\partial_i \partial_j \psi(\theta)) \sum_{\omega =1}^n \partial_k p(\omega) = \partial_k( \sum_{\omega =1}^n p(\omega) ) = \partial_k(1) =0
\]
となって, $(\theta^i)$が$\nabla^{(e)}$のアファイン座標系になっていることがわかる.
さて, 実は$(\eta_i)$と$(\theta^j)$は双対アファイン座標系になっていることがわかる.
それには例によって, $1\leq i,j \leq n-1$, $1\leq \omega \leq n$においては, $\delta_n(\omega)\delta_j(\omega)=0$であることと, $\frac{\partial \psi}{\partial \theta^j}$が$\omega$に依らないことに注意する.
\begin{align}
g(\frac{\partial \psi}{\partial \eta_i}, \frac{\partial}{\partial \theta^j})&= \sum_{\omega =1}^n (\delta_i(\omega)-\delta_n(\omega)) \left( \delta_j(\omega) – \frac{\partial \psi}{\partial \theta^j} \right) \\
&=\sum_{\omega =1}^n (\delta_i(\omega)-\delta_n(\omega)) \delta_j (\omega) \\
& \delta_{ij}
\end{align}