$C$に関しては,
\[
C= \sigma_1(\{3,4,5\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_2(\{3,4,5\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_3(\{7,8,1\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_4(\{1,2,3\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_5(\{7,8,1\}^\mathbb{N} \cup \{1,2,3\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_6(\{3,4,5\}^\mathbb{N} \cup \{7,8,1\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_7(\{3,4,5\}^\mathbb{N} \cup \{1,2,3\}^\mathbb{N}) \cup \sigma_8(\{1,2,3\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N})
\]
\[
\mathcal{P} = \bigcup_{n=1}^{infty} \sigma^n(C_L) =\{3,4,5\}^\mathbb{N} \cup \{5,6,7\}^\mathbb{N} \cup \{7,8,1\}^\mathbb{N} \cup \{1,2,3\}^\mathbb{N}
\]
の各項に対応して眺めると
\[
V_0 = (\{1\} \times [0,1] ) \cup ([0,1] \times \{1\} )\cup ([0,1] \times \{0\} ) \cup (\{1\} \times [0,1] )
\]
がわかる。
$\forall x\in C_K$, $S=\{1,2,\ldots,8\}$に対して
ある$\{i,j\}\in \{ \{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\},\{5,6\},\{6,7\},\{7,8\} ,\{8,1\} \}$
により
\[
\{x\in S \mid x \in K_k\}=\{i,j\}
\]
これを利用すると,
結果として
\[\pi^{-1}(x) \subset (\sigma_i (\pi^{-1} (F_i^{-1}(x)) )) \cup (\sigma_j (\pi^{-1} (F_j^{-1}(x)) )) \]
がわかって, $y= (F_i^{-1}(x))$とおいて$\pi^{-1}(x)$を計算すると, $\# \pi^{-1}(x) =\# \pi^{-1}(F_i^{-1}(x)) \leq 2$. 同様に$\# \pi^{-1}(F_j^{-1}(x)) \leq 2$.
このことから結局
\[
\# \pi^{-1}(x) \leq 4
\]
- 参考:
講義ノートpdfファイル (2.4MB)（2014年2月23日更新：2.3節の内容を一部修正）
応用解析学特論I（京都大学大学院情報学研究科 2013年度集中講義）フラクタル上の解析学入門