[調和関数] $u : \Omega \to \mathbb{R}$ が\textbf{調和関数}であるとは，
\[
\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
\] が成り立つことをいう．
$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ が正則ならば，$u$ および $v$ はともに調和関数である．
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.
\] 1本目を $x$ で，2本目を $y$ で微分すると，
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}, \qquad
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}.
\] 正則関数は $C^\infty$ 級であるから混合偏微分の順序が交換可能，すなわち
\[
\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}.
\] したがって，
\[
\Delta u
= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
= \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} – \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}
= 0.
\] 全く同様の議論により $\Delta v = 0$ も従う．\qedhere
[/proof]
$f(z_0) \neq 0$ の近傍では $\log f$ が正則に定義でき，
\[
\log|f| = \operatorname{Re}(\log f)
\] は調和関数となる($f$ が正則で $f \not\equiv 0$ ならば，$f$ の零点は孤立していることに注意しておく. これは冪級数展開したらわかる.)．調和関数は劣調和（平均値の等式が成立）であるから，
$\log|f|$ は劣調和関数である(f(z_0=0$の場合は、それはそれで劣調和の条件を満たす。))．
\[ \log f(z) = \log|f(z)| + i\arg f(z), \]
[/proof]
[definiton] $\Omega \subset \mathbb{C}^2$とし, $\{v_k(z)\}$を$\Omega$で定義された関数列とする. このとき, $\{v_k(z)\}$が$K \subset \Omega$上で、上に一様有界であるとは、
ある$M>0$が存在して, 任意の$k\in \mathbb{Z}_{+}$, $z\in K$に対して$v_k(z)< M$ で或ることを言う.
[/definition]
$\Omega \subset \mathbb{C}^2$とし, $\{v_k(z)\}$を$\Omega$で定義された劣調和関数列とする. $\{v_k(z)\}$が、任意のコンパクト集合$K$上で、上に一様有界で, 定数＄C>0$が存在して, $\limsup_{k \to \infty} v_k(z) \leq C$ $(z\in \Omega)$が成り立つと仮定する. すると, 任意の＄\varepsilon >0$と任意のコンパクト集合$K$に対して, 正整数$N$が存在して, $\forall k > N$ならば, $v_k(z)\leq C + \varepsilon $ $(z\in K)$が成り立つ.
$z\in K$, $0< \rho \leq r$に対して
\[
2\pi v_k(z) \leq \int_{0}^{2\pi} v_k(z + \rho e^{i \theta}) d\theta
\] が成り立つ. 上式に$\rho$をかけて$\rho$について$0$から$r$まで積分すると,
\[
\pi r^2 v_k(z) \leq \int \int_{\abs{z-z’}<r} v_k(z’) dx’ dy’ \quad (z’ = x’ + i y’)
\] が成り立ち, Fatouの補題と補題の仮定を使うと、
\[
\limsup_{k\to \infty}\int \int_{\abs{z-z’}<r} v_k(z’) dx’ dy’ \leq \int \int_{\abs{z-z’}<r} \limsup_{k\to \infty} v_k(z’) dx’ dy’ \leq \pi C r^2
\] ここで, $\limsup_{k\to \infty}$の性質に立ち返ると,
$z \in K$に対して, $k_0(z) \in \mathbb{Z}_+$が存在して, $\forall k \geq k_0(z)$に対して
\[
\int \int_{\abs{z-z’}<r} v_k(z’) dx’ dy’ \leq \pi (C + \frac{\varepsilon}{2}) r^2
\]
ところで, $0 < \delta < r$とすると, $\abs{z-w}<\delta$を満たす任意の$w$に対して
\[
\{z’ \mid \abs{z’-z}<r\} \subset \{z’ \mid \abs{z’-w}<r + \delta\}
\]
$v_k \leq 0$と劣調和による不等式を使うと, $k \geq k_0(z)$ならば
\begin{align}
\pi (r + \delta)^2 v_k(w) & \leq \int \int_{\abs{z-z’}<r + \delta} v_k(z’) dx’ dy’ \\
& \leq \int \int_{\abs{z-z’}<r} v_k(z’) dx’ dy’ \leq \pi (C + \frac{\varepsilon}{2}) r^2
\end{align}
よって, $k \geq k_0(z)$ならば
\[
v_k(w) \leq (r/(r+\delta))^2 (C+\frac{\varepsilon}{2})
\]
$r$も$\delta$も, $z$や$k$に依存していないことに注意.
$\delta$を十分小さくとると,
$k \geq k_0(z)$ならば, $\abs{z-w}<\delta$の時に$v_k(w) < C + \varepsilon$
が成り立つ.
ここで, $K$はコンパクト集合だから, $z^1,\ldots, z^m \in K$が存在して, $K \subset \bigcup_{i=1}^m B(z^i,\delta)$とできる. そこで, $N= \max_{1\leq i\leq m} k_0(z^i)$とする. そうすると, 任意の$w\in K$に対して, $i \in \{1\leq i\leq m\}$ が存在して, $w\in B(z^i,\delta)$を満たし, 言い換えれば$\abs{w-z^i}<\delta$だから, 任意の$k > N$で$v_k(w) < C + \varepsilon$を満たす.
[/proof]
Schwartzの補題
$f(z)$は単位円板$B(0,1)\subset \mathbb{C}$において正則で, $f(0)=0$且つ$\abs{f(z)}\leq 1 \quad (\abs{z}<1)$を満たすとする. この時,
\[
\abs{f(z)}\leq \abs{z} (\abs{z}<1) \quad \abs{f'(0)} \leq 1
\] が成り立つ. さらに, 或る$z\neq 0$に対して, $\abs{f(z)} = \abs{z}$となるか, または $\abs{f'(0)} =1$ならば$f(z)=\alpha z$と表すことができる。 ここで, $\abs{\alpha}=1$で或る.
関数$f(z)$は$B(0,r)\subset \mathbb{C}$で正則で、 定数$M>0$が存在して,
$\abs{f(z)}\leq M$を満たするとする. この時、 次が成立する:
\[
\abs{f(z_1)-f(z_2)} \leq 2M \frac{r_j \abs{z_2 – z_1}}{\abs{r_j^2-\overline{z_1}z_2}} \quad z_1, z_2 \in B(0,r)
\]
\[
\Phi(z)
= \frac{ r (z – z_1) }{ r^2 – \overline{z_1} z }, \quad \Psi(w)=
\frac{ M (w – w_1) }{ M^2 – \overline{w_1} w }
\]
によって定義する. $\Psi\circ f \circ \Phi^{-1}:B(0,1) \to B(0,1)$
は$0$を$0$に写す正則関数であるから, Schwartzの補題から,
$\abs{\Psi\circ f \circ \Phi^{-1}(z)}\leq \abs{z} $が成り立つ. $z=\Phi(z_2)$と置くと, $\abs{\Psi(w_2)}\leq \abs{\Phi(z_2)} $
[/proof]
有界な場合のHartogsの定理(これを2. で使う.)
$\Omega \subset \mathbb{C}^n$は開集合で、 $f(z)$は$\Omega$上で定義された有界関数とする. $f(z)$は各変数$z_j$ $1\leq j \leq n$に関して正則である.
このとき, $f(z)$は$\Omega$で連続である(つまり, $f(z)$は正則である.).
連続性は局所的な問題なので, $\Omega= P(0,r),\quad r=(r_1,\ldots,r_n)$としても問題ない.
ここで直前の補題を用いると,
\begin{align}
&\abs{f(z) – f(\xi)} = \abs{f(z_1,\ldots, z_n) – f(\xi_1,\ldots, \xi_n)} \\
&\leq \sum_{j=1}^n \abs{f(z_1,\ldots,\xi_{j-1},z_j,\ldots, z_n) – f(\xi_1,\ldots,\xi_j,z_{j+1} \ldots,\xi_n)} \\
&\leq \sum_{j=1}^n 2M \frac{r_j \abs{z_j – \xi_j}}{\abs{r_j^2-\overline{\xi_j}z_j}}
\end{align}
となるから、 $z\to \xi$で$f(z)\to f(\xi)$が成り立つ. よって ,$f(z)$は＄\Omega$で連続である. 従って, $f(z)$は＄\Omega$上で正則でもある.
[/proof]