Definition.
多様体Mの各点$p$に対し, $p$における接空間$T_pM$上の$(r,s)$-Tensor $F_p$を対応させる対応$F=\{F_p\}_{p\in M}$のことを, $M$上のTensor 場という.
多様体Mの各点$p$に対し, $p$における接空間$T_pM$上の$(r,s)$-Tensor $F_p$を対応させる対応$F=\{F_p\}_{p\in M}$のことを, $M$上のTensor 場という.
Definition.
$M$上のTensor 場の和と関数倍も、ベクトル場のときと同様に定義される。
\[
\begin{align}
(F+G)_p &=F_p + G_p \\
(fF)_p &=f(p)F_p
\end{align}
\]
$M$上のTensor 場の和と関数倍も、ベクトル場のときと同様に定義される。
\[
\begin{align}
(F+G)_p &=F_p + G_p \\
(fF)_p &=f(p)F_p
\end{align}
\]
Example.
$M$上で定義された$(0,2)$-Tensor場$g$であって, 各点$p\in M$で$g_p$が$T_pM$上の正定値対称双線形形式であるものを$M$のRiemannian metricという.
局所座標$(x^1,\ldots, x^n)$を用いて,
\[g=g_{i,j}dx^i\otimes dx^j\] とあらわすと, その成分
\[g_{ij}=g\left( \frac{\partial }{\partial x^i}, \frac{\partial }{\partial x^j}\right)\] は正定値対称行列となる. これは藤岡の情報幾何学で示したことと同じ。
Riemannian metric $g$が与えれたmfd $M$を Riemannian mfd $(M,g)$という.
$M$上で定義された$(0,2)$-Tensor場$g$であって, 各点$p\in M$で$g_p$が$T_pM$上の正定値対称双線形形式であるものを$M$のRiemannian metricという.
局所座標$(x^1,\ldots, x^n)$を用いて,
\[g=g_{i,j}dx^i\otimes dx^j\] とあらわすと, その成分
\[g_{ij}=g\left( \frac{\partial }{\partial x^i}, \frac{\partial }{\partial x^j}\right)\] は正定値対称行列となる. これは藤岡の情報幾何学で示したことと同じ。
Riemannian metric $g$が与えれたmfd $M$を Riemannian mfd $(M,g)$という.
Tensor っていうのは互いの次元に関して関与しないので、多重線形性をもつ.
Lemma.
$F$を$(r,s)$-Tensor 場とする. さらに, $i=1,\ldots, r$に対して, $\omega_i,\tilde{\omega_i}\in \mathcal{D}^{1}(M)$: $M$上の微分$1$-形式全体, $j=1,\ldots, s$に対して, $X_j,\tilde{X_j}\in \mathcal{X}(M)$とし, 定数$a,b\in \mathbb{R}$を任意に固定する. このとき, $i$番目の微分$1$-形式に関する線形性
\[
\begin{align}
&F(\omega_i,\ldots, (a\omega_i+b\tilde{\omega_i}),\ldots, \omega_r,X_1, \ldots, X_s) \\
&= aF(\omega_i,\ldots, \omega_i,\ldots, \omega_r,X_1, \ldots, X_s)\\
&+bF(\omega_i,\ldots,\tilde{\omega_i},\ldots, \omega_r,X_1, \ldots, X_s)
\end{align}
\] $j$番目のベクトル場に関する線形性
\[
\begin{align}
&F(\omega_i,\ldots, \omega_r,X_1, \ldots,(aX_j+b\tilde{X_j}) ,\ldots, X_s) \\
&= aF(\omega_i,\ldots, \omega_i,\ldots, \omega_r,X_1,\ldots,X_j, \ldots, X_s)\\
&+bF(\omega_i,\ldots,\tilde{\omega_i},\ldots, \omega_r,X_1, \ldots,\tilde{X_j},\ldots, X_s)
\end{align}
\]
$F$を$(r,s)$-Tensor 場とする. さらに, $i=1,\ldots, r$に対して, $\omega_i,\tilde{\omega_i}\in \mathcal{D}^{1}(M)$: $M$上の微分$1$-形式全体, $j=1,\ldots, s$に対して, $X_j,\tilde{X_j}\in \mathcal{X}(M)$とし, 定数$a,b\in \mathbb{R}$を任意に固定する. このとき, $i$番目の微分$1$-形式に関する線形性
\[
\begin{align}
&F(\omega_i,\ldots, (a\omega_i+b\tilde{\omega_i}),\ldots, \omega_r,X_1, \ldots, X_s) \\
&= aF(\omega_i,\ldots, \omega_i,\ldots, \omega_r,X_1, \ldots, X_s)\\
&+bF(\omega_i,\ldots,\tilde{\omega_i},\ldots, \omega_r,X_1, \ldots, X_s)
\end{align}
\] $j$番目のベクトル場に関する線形性
\[
\begin{align}
&F(\omega_i,\ldots, \omega_r,X_1, \ldots,(aX_j+b\tilde{X_j}) ,\ldots, X_s) \\
&= aF(\omega_i,\ldots, \omega_i,\ldots, \omega_r,X_1,\ldots,X_j, \ldots, X_s)\\
&+bF(\omega_i,\ldots,\tilde{\omega_i},\ldots, \omega_r,X_1, \ldots,\tilde{X_j},\ldots, X_s)
\end{align}
\]
微分$1$-形式もベクトル場も結局点$p\in M$での挙動しかみてない
Proposition.
このような性質を$F$のテンソル性と呼ぶ. 微分形式とかベクトル場の値”そのもの”っていうのは、局所座標表示によらない。 なんで、次が成り立つ。
\[
\begin{align}
&F(f_1\omega_i,\ldots, f_r\omega_r,g_1X_1, \ldots g_sX_s) \\
&= f_1(p)\cdots f_r(p)g_1(p)\cdots g_s(p)F(\omega_1,\ldots,\omega_r,X_1, \ldots, X_s)
\end{align}
\]
Theorem.
\[G \colon \mathcal{D}^{1}(M)\times \cdots \times \mathcal{D}^{1}(M) \times \mathcal{X} \times \cdots \times \mathcal{X} \to C^{\infty} \] という多重$C^{\infty}$-線形写像が任意に与えられているとする. (<- テンソル性をもってるということ ) このとき、局所座標によらずに, テンソル場全体が定まる.
$r=s=1$の場合を示す.
点$(U; (x^1,\ldots, x^n))$を取り, 一次微分形式$\omega$, ベクトル場$X$を
\[\omega = a_idx^i \quad X=v^i \frac{\partial }{\partial x^i}\] と局所座標する. 、もう一組$\tilde{\omega}, \tilde{X}$を用意して,
\[\tilde{\omega}= \tilde{a_i}dx^i \quad \tilde{X}=\tilde{v^i} \frac{\partial }{\partial x^i}\] $a_i, \tilde{a_i},v^i, \tilde{v^i} $は勿論 $C^{\infty}$関数.
更に, $p$で互いの値が一致していたとする.
このとき, テンソル性から,
\[
\begin{align}
&G(\omega, X)(p) \\
&=a_i(p)v^i(p)G(dx^, \frac{\partial }{\partial x^i} )(p)\\
&=\tilde{a_i}(p)\tilde{v_i}(p)G(dx^, \frac{\partial }{\partial x^i} )(p)\\
&=G(\tilde{\omega}, \tilde{X})(p)
\end{align}
\]
\[G \colon \mathcal{D}^{1}(M)\times \cdots \times \mathcal{D}^{1}(M) \times \mathcal{X} \times \cdots \times \mathcal{X} \to C^{\infty} \] という多重$C^{\infty}$-線形写像が任意に与えられているとする. (<- テンソル性をもってるということ ) このとき、局所座標によらずに, テンソル場全体が定まる.
$r=s=1$の場合を示す.
点$(U; (x^1,\ldots, x^n))$を取り, 一次微分形式$\omega$, ベクトル場$X$を
\[\omega = a_idx^i \quad X=v^i \frac{\partial }{\partial x^i}\] と局所座標する. 、もう一組$\tilde{\omega}, \tilde{X}$を用意して,
\[\tilde{\omega}= \tilde{a_i}dx^i \quad \tilde{X}=\tilde{v^i} \frac{\partial }{\partial x^i}\] $a_i, \tilde{a_i},v^i, \tilde{v^i} $は勿論 $C^{\infty}$関数.
更に, $p$で互いの値が一致していたとする.
このとき, テンソル性から,
\[
\begin{align}
&G(\omega, X)(p) \\
&=a_i(p)v^i(p)G(dx^, \frac{\partial }{\partial x^i} )(p)\\
&=\tilde{a_i}(p)\tilde{v_i}(p)G(dx^, \frac{\partial }{\partial x^i} )(p)\\
&=G(\tilde{\omega}, \tilde{X})(p)
\end{align}
\]
曲率テンソルの時に使う見方を観察する.
Remark.
$(1,s)$-Tensor field の別の見方を観察する.
線形空間$V$上の$(1,s)$-Tensor, つまり $(s+1)$重$\mathbb{R}$-線形写像
\[F\colon V^{*}\times V \times \cdots \times V \to \mathbb{R}\] は$s$-重$\mathbb{R}$-線形写像
\[ \tilde{F} \colon V \times \cdots \times V \to V \] と同一視できた。この事実と, 上記のTensor性から, 上の$(1,s)$-Tensor Field, i.e. $(s+1)$重$\mathcal{C}^{\infty}(M)$-線形写像
\[F\colon \mathcal{D}^{1}(M) \times \mathcal{X} \times \cdots \times \mathcal{X} \to\mathcal{C}^{\infty}(M)\]は、
\[ \tilde{F} \colon \mathcal{X} \times \cdots \times \mathcal{X} \to \mathcal{X}\] と同一視できることになる.
各点$p\in M$で前半の普通の同一視の仕方を使って、テンソル性からわかる.
$(U; (x^1,\ldots, x^n))$を取り, 与えられたテンソル場
\[F= F^{i}_{j_1,\ldots, j_s} \frac{\partial }{\partial x^i} \otimes dx^{i_1}\otimes \cdots \otimes dx^{i_s}\] に対し, 後半の$ dx^{i_1}\otimes \cdots \otimes dx^{i_s}$にだけ基底ベクトル場を作用させて、最初のベクトル場だけを残しておく写像$\tilde{F}$:
\[
\begin{align}
&\tilde{F}(\frac{\partial }{\partial x^{k_1}}, \ldots, \frac{\partial }{\partial x^{k_s}}) \\
&= F^{i}_{j_1,\ldots, j_s} \frac{\partial}{\partial x^i} \frac{\partial x^{j_1}}{\partial x^{k_1}}, \ldots, \frac{\partial x^{j_s}}{\partial x^{k_s}} \\
&= F^{i}_{j_1,\ldots, j_s} \frac{\partial}{\partial x^i} \delta^{j_1}_{k_1} \cdots \delta^{j_s}_{k_s} \\
&= F^{i}_{k_1,\ldots, k_s} \frac{\partial}{\partial x^i}
\end{align}
\]
$(1,s)$-Tensor field の別の見方を観察する.
線形空間$V$上の$(1,s)$-Tensor, つまり $(s+1)$重$\mathbb{R}$-線形写像
\[F\colon V^{*}\times V \times \cdots \times V \to \mathbb{R}\] は$s$-重$\mathbb{R}$-線形写像
\[ \tilde{F} \colon V \times \cdots \times V \to V \] と同一視できた。この事実と, 上記のTensor性から, 上の$(1,s)$-Tensor Field, i.e. $(s+1)$重$\mathcal{C}^{\infty}(M)$-線形写像
\[F\colon \mathcal{D}^{1}(M) \times \mathcal{X} \times \cdots \times \mathcal{X} \to\mathcal{C}^{\infty}(M)\]は、
\[ \tilde{F} \colon \mathcal{X} \times \cdots \times \mathcal{X} \to \mathcal{X}\] と同一視できることになる.
各点$p\in M$で前半の普通の同一視の仕方を使って、テンソル性からわかる.
$(U; (x^1,\ldots, x^n))$を取り, 与えられたテンソル場
\[F= F^{i}_{j_1,\ldots, j_s} \frac{\partial }{\partial x^i} \otimes dx^{i_1}\otimes \cdots \otimes dx^{i_s}\] に対し, 後半の$ dx^{i_1}\otimes \cdots \otimes dx^{i_s}$にだけ基底ベクトル場を作用させて、最初のベクトル場だけを残しておく写像$\tilde{F}$:
\[
\begin{align}
&\tilde{F}(\frac{\partial }{\partial x^{k_1}}, \ldots, \frac{\partial }{\partial x^{k_s}}) \\
&= F^{i}_{j_1,\ldots, j_s} \frac{\partial}{\partial x^i} \frac{\partial x^{j_1}}{\partial x^{k_1}}, \ldots, \frac{\partial x^{j_s}}{\partial x^{k_s}} \\
&= F^{i}_{j_1,\ldots, j_s} \frac{\partial}{\partial x^i} \delta^{j_1}_{k_1} \cdots \delta^{j_s}_{k_s} \\
&= F^{i}_{k_1,\ldots, k_s} \frac{\partial}{\partial x^i}
\end{align}
\]