git rebase -i HEAD~2

で直前のコミットと現在のコミットの変更履歴を一つに圧縮できるから便利。

git switch -c HOGEFUGA

で現在のブランチのコピーブランチ名:HOGEFUGAでつくれるけど、IDEAやVSCODEとかならGUI的にいろいろできるかも。

あと、stash, shelf とかで一時退避を使うと、reviewのためとかに別のブランチにいくとかに便利。

git mergeしようとしたときに、conflict しててIDEAで解消するときは、右がもともとのので、真ん中が解消した後の最終結果、左がmerge して取り込もうとしてるブランチのこと。

↓がgit hubのプルリクのコメントで書けるから便利かも。

<details><summary>的はずれなコメントしてたので修正</summary>
これが便利
<del>
\>で引用書ける。
```mermaid graph TD; A-->B; A-->C; B-->D; C-->D; ```
がgit で書ける。
</del>
</detail>

git reset --hard (commit番号)

多様体$M$の$(0,2)$型テンソル場$g$であって, 各点$p\in M$で$g_p$が$T_pM$の内積となっているものをRiemann計量といい, Riemann計量$g$が与えられた多様体$M$のことをRiemann多様体と呼んだことを思い出す。

各座標近傍において, 上で定義された関数の組$\{ \Gamma_{ij}^{l} \}$がAffine接続を定めること, すなわち座標変換規則をみたす。これは、たとえば服部多様体 p.196に載っている。が、一応昔示したノートがあったので貼っとく。（一応自分でも確かめてみてください）

なんか内積の座標変換表示と逆行列の座標変換行列を用いて、元の座標でどう$\Gamma_{ij,k}$が書けるかをみてる感じです。

$\Gamma_{ij,k}$は$\nabla_{\partial_i}\partial_j$と$\partial_k$の内積
$\Gamma_{ij,k}=\Gamma_{ij}^{l}g_{lk} = g(\nabla_{\partial_i}\partial_j, \partial_k)$である。実際,
\[ g(\nabla_{\partial_i}\partial_j, \partial_k)= g( \Gamma_{ij}^{l}g_{lk}, \partial_k )= \Gamma_{ij}^{l} g(\partial_l, \partial_k )=\Gamma_{ij}^{l} g_{lk}\]

\[ \partial_kg_{ij}-\Gamma_{ki,j}-\Gamma_{kj,i}=0\]

\[ 2(\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i})=\{ (\partial_k g_{j,j} + \partial_j g_{k,j} – \partial_j g_{k,i} )+ (\partial_k g_{j,i} + \partial_j g_{k,i} – \partial_i g_{k,j} ) \}=2\partial_kg_{ij} \]

\[Xg(Y,Z)=\sum_{k=1}^{n}X^k\left( \frac{\partial}{\partial x^k} \right) g(\sum_{i=1}^{n}Y^i \left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right) ,\sum_{j=1}^{n}Z^j\left( \frac{\partial}{\partial x^j} \right) )= \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X^k Y^i Z^j (\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i})\] ここで,
\[ X^k Y^i\Gamma_{ki}^{l}g_{lj}= g(\nabla_{(X^k \frac{\partial}{\partial x^k} )} (Y^i \frac{\partial}{\partial x^i}) , \partial_j) \]

ここで,
\[ X^k Z^j\Gamma_{kj}^{l}g_{li}= g(\nabla_{(X^k \frac{\partial}{\partial x^k} )} (Z^j \frac{\partial}{\partial x^j}) , \partial_i) \] だから、結果として,
\[ Xg(Y,Z)=g(\nabla_X Y,Z) + g(\nabla_X Z,Y) \]

Affine接続$\nabla$をもつ$n$次元多様体$N$, $M$を$N$の$m$次元部分多様体とする。一般に,
\[ (\nabla^N_{X}Y)=(\nabla^N_{X}Y)^{\top} +(\nabla^N_{X}Y)^{\perp} \] と分解できる。この分解した一項目を
$(\nabla^M_{X}Y)$, $(\nabla^N_{X} Y)^{\perp}$を $ B(X,Y) $と書くことにし, $B(X,Y)$を第二基本形式と呼ぶ。つまり,
\[
(\nabla^M_{\partial^{i}}\partial^{j}) = (\nabla^N_{\partial^{i}}\partial^{j})^{\top} = \sum_{k=1}^{m} \Gamma_{ij}^k \, \partial^{k}
\] つまり, 計量を考えると,
任意の$Z\in TN$に対して,
\[g((\nabla^N_{X}Y), Z)=g((\nabla^N_{X}Y)^{\top} +(\nabla^N_{X}Y)^{\perp} , Z)= g((\nabla^M_{X}Y), Z)\] となる. 逆に、この関係から、$(\nabla^M_{X}Y)$を定義づけることも計量があるときはできる。

$\textrm{(i)} \Longrightarrow \textrm{(ii)}$を示す。任意の座標近傍$(U;x^1,\ldots,x^n)$に対し, ある座標近傍$(V;\xi^{1},\ldots,\xi^{n})$が存在して,
$U\cap V$で
\[0=\Gamma_{ab}^c=\frac{\partial x^i}{\partial {\xi}^a}\frac{\partial x^j}{\partial {\xi}^b}\frac{\partial {\xi}^c}{\partial x^k}\Gamma_{ij}^k+\frac{\partial^2 x^l}{\partial {\xi}^a\partial{\xi}^b}\frac{\partial {\xi}^c}{\partial x^l}\quad (1\leq a,b,c\leq n)\] となることを示せばいい。
自明な恒等式(↓コレは$lj$を使って$(l,j)$成分を表している行列であることに注意。)
\[\frac{\partial x^l}{\partial {\xi}^b}\frac{\partial {\xi}^b}{\partial x^j}=\delta_{j}^i\] の両辺を$x^i$で偏微分して
\[\frac{\partial^2 x^l}{\partial {\xi}^a\partial{\xi}^b}\frac{\partial {\xi}^a}{\partial x^i}\frac{\partial {\xi}^b}{\partial x^j} + \frac{\partial x^l}{\partial {\xi}^b}\frac{\partial^2 {\xi}^b}{\partial x^i \partial x^j} = 0\] だから、両辺にJacobi行列$(\frac{\partial {\xi}^a}{\partial x^i})$, $(\frac{\partial {\xi}^b}{\partial x^j})$の逆行列を掛けて
\[\frac{\partial^2 x^l}{\partial {\xi}^a\partial{\xi}^b} = -\frac{\partial x^i}{\partial {\xi}^a}\frac{\partial x^l}{\partial {\xi}^d}\frac{\partial x^l}{\partial {\xi}^b}\frac{\partial^2 {\xi}^b}{\partial x^i \partial x^j} \] この式を最初の式に代入すると,
\begin{align}
0 &=
\frac{\partial x^i}{\partial \xi^a} \frac{\partial x^j}{\partial \xi^b} \frac{\partial \xi^c}{\partial x^k} \Gamma_{ij}^k
–
\left(
\frac{\partial x^i}{\partial \xi^a} \frac{\partial x^j}{\partial \xi^b}
\frac{\partial x^l}{\partial \xi^d} \frac{\partial^2 \xi^d}{\partial x^i \partial x^j}
\right) \frac{\partial \xi^c}{\partial x^l} \\
&=
\frac{\partial x^i}{\partial \xi^a} \frac{\partial x^j}{\partial \xi^b} \frac{\partial \xi^c}{\partial x^k} \Gamma_{ij}^k
–
\left(
\frac{\partial x^i}{\partial \xi^a} \frac{\partial x^j}{\partial \xi^b}
\delta_d^c \frac{\partial^2 \xi^d}{\partial x^i \partial x^j}
\right)\\
&=
\frac{\partial x^i}{\partial \xi^a} \frac{\partial x^j}{\partial \xi^b}
\left(
\frac{\partial \xi^c}{\partial x^k} \Gamma_{ij}^k
–
\frac{\partial^2 \xi^c}{\partial x^i \partial x^j}
\right)
\end{align}

したがって今の計算結果を行列の形で見れば見通せるように、
\[ \frac{\partial \xi^c}{\partial x^k} \Gamma_{ij}^k
=
\frac{\partial^2 \xi^c}{\partial x^i \partial x^j} \] と同値である.
これは, 連立方程式の形で書けば,
\[
\begin{cases}
\dfrac{\partial \xi^c}{\partial x^k} = \theta_k^c \\
\dfrac{\partial \theta_j^c}{\partial x^i} = \theta_k^c \Gamma_{ij}^k
\end{cases}
\]

この連立方程式の可積分条件は,
\[
\begin{cases}
\dfrac{\partial^2 \xi^c}{\partial x^i \partial x^j} = \dfrac{\partial^2 \xi^c}{\partial x^j \partial x^i} \\[1mm] \dfrac{\partial^2 \theta_j^c}{\partial x^i \partial x^k} = \dfrac{\partial^2 \theta_i^c}{\partial x^j \partial x^k}
\end{cases}
\]

1つ目の等式は,
\begin{align}
\dfrac{\partial^2 \xi^c}{\partial x^i \partial x^j}
&= \dfrac{\partial^2 \xi^c}{\partial x^j \partial x^i}
\\[1mm] \iff \dfrac{\partial \theta_j^c}{\partial x^i}
&= \dfrac{\partial \theta_i^c}{\partial x^j}
\\[1mm] \iff \theta_k^c \Gamma_{ij}^k
&= \theta_k^c \Gamma_{ji}^k
\\[1mm] \iff \theta_k^c \underbrace{(\Gamma_{ij}^k – \Gamma_{ji}^k)}_{T^k_{ij}}
&= 0
\end{align}

と変形できる. 他方,
\begin{align}
\dfrac{\partial}{\partial x^i} (\theta_m^c \Gamma_{jk}^m)
&= \sum_{m=1}^{n} \dfrac{\partial}{\partial x^i} (\theta_m^c \Gamma_{jk}^m) \\[1mm] &= \sum_{m=1}^{n} \left( \dfrac{\partial \theta_m^c}{\partial x^i} \Gamma_{jk}^m + \theta_m^c \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^m}{\partial x^i} \right) \\[1mm] &= \sum_{m=1}^{n} \left( \sum_{\ell=1}^{n} \theta_\ell^c \Gamma_{im}^\ell \Gamma_{jk}^m + \theta_m^c \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^m}{\partial x^i} \right) \\[1mm] &= \sum_{m=1}^{n} \sum_{\ell=1}^{n} \theta_\ell^c \Gamma_{im}^\ell \Gamma_{jk}^m + \sum_{m=1}^{n} \theta_m^c \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^m}{\partial x^i}
\end{align}
に注意すると、

\begin{align}
\dfrac{\partial^2 \theta_k^c}{\partial x^i \partial x^j}
&= \dfrac{\partial^2 \theta_k^c}{\partial x^j \partial x^i}
\iff \\[1mm] \dfrac{\partial}{\partial x^i} (\theta_m^c \Gamma_{jk}^m)
&= \dfrac{\partial}{\partial x^j} (\theta_m^c \Gamma_{ik}^m)
\iff \\[1mm] \sum_{m=1}^{n} \sum_{\ell=1}^{n} \theta_\ell^c \Gamma_{im}^\ell \Gamma_{jk}^m
+ \sum_{m=1}^{n} \theta_m^c \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^m}{\partial x^i}
&= \sum_{m=1}^{n} \sum_{\ell=1}^{n} \theta_\ell^c \Gamma_{jm}^\ell \Gamma_{ik}^m
+ \sum_{m=1}^{n} \theta_m^c \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^m}{\partial x^j}
\iff \\[1mm] \sum_{m=1}^{n} \theta_m^c \Big( \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^m}{\partial x^i} – \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^m}{\partial x^j}
+ \sum_{\ell=1}^{n} (\Gamma_{im}^\ell \Gamma_{jk}^m – \Gamma_{jm}^\ell \Gamma_{ik}^m) \Big)
&= 0
\iff \\[1mm] \sum_{m=1}^{n} \theta_m^c R^m_{ijk}
&= 0
\end{align}
と変形できる.
仮定により, $T=0$かつ$R=0$だから, 先程の連立方程式は可積分である.
以上により, 任意に固定した$p\in U$における初期条件$(\xi^c)_p$, $(\partial_i \xi^c)_p$を任意に与えると, コレをみたす微分方程式(★)の解$(\xi^c)$が$p$の近傍で存在する。特に初期条件を$\det (\partial_i \xi^c)_p \neq 0$に取っておけば, 逆写像定理により, $(\xi^c)$は$p$の近傍で局所座標近傍系をなす。以上から, $U$の各点$p$の周りにある座標近傍が存在して, 最初の等式が成立する.

\[
\frac{\partial^2 x^l}{\partial \xi^a \partial \xi^b} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^l = A^l{}_a \xi^a + b^l
\] [/proof]

\begin{align}
R(fX,Y)Z&= \nabla_{fX}(\nabla_{Y}(Z))- \nabla_{Y}(\nabla_{fX}(Z))-\nabla_{ [fX, Y ] }(Z)\\
&= f\nabla_{X}(\nabla_{Y}(Z))-\nabla_{Y}(f\nabla_{X}(Z))-(\nabla_{ f[X, Y ] }Z-\nabla_{ (Yf)X }(Z))\\
&= f\nabla_{X}(\nabla_{Y}(Z))-((Yf)(\nabla_{X}(Z))+f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z)-(\nabla_{ f[X, Y ] }Z-\nabla_{ (Yf)X }(Z))\\
&= f\nabla_{X}(\nabla_{Y}(Z))-((Yf)(\nabla_{X}(Z))+f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z)-(f\nabla_{ [X, Y ] }Z-(Yf)\nabla_{ X }(Z))\\
&= f\nabla_{X}(\nabla_{Y}(Z))-(f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z)-(f\nabla_{ [X, Y ] }Z)\\
&= f(\nabla_{X}(\nabla_{Y}(Z))-(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z)-(\nabla_{ [X, Y ] }Z))\\
&= fR(X,Y,Z)
\end{align}
これで一つ目の等式がわかる。二つ目の等号は、\[
[X,Y]=-[Y,X] \]からすぐわかる。三つ目の等号は、
\begin{align}
R(fX,Y)Z&= \nabla_{fX}(\nabla_{Y}(Z))- \nabla_{Y}(\nabla_{fX}(Z))-\nabla_{ [fX, Y ] }(Z)\\
&= \nabla_{fX}(\nabla_{Y}(Z))- \nabla_{Y}(\nabla_{fX}(Z))-\nabla_{ [fX, Y ] }(Z)\\
&= fR(X,Y,Z)
\end{align}

$ \nabla_{X}(\nabla_{Y}(fZ))= \nabla_{X}((Yf)Z+(\nabla_{fY}(Z)))= [X(Yf)Z+(Yf)\nabla_{X}Z]+[Xf(\nabla_{Y}(Z))+f\nabla_{X}(\nabla_{Y}(Z))]$
同様に,

$ \nabla_{Y}(\nabla_{X}(fZ))=\nabla_{Y}((Xf)Z+(\nabla_{fX}(Z)))= [Y(Xf)Z+(Xf)\nabla_{Y}Z]+[Yf(\nabla_{X}(Z))+f\nabla_{Y}(\nabla_{X}(Z))]$

\begin{align}
& \nabla_{X}(\nabla_{Y}(fZ))- \nabla_{Y}(\nabla_{X}(fZ))\\
&=X(Yf)Z+f\nabla_{X}(\nabla_{Y}(Z))-(Y(Xf)Z+f\nabla_{Y}(\nabla_{X}(Z))) \\
&=[X,Y](fZ)+f( \nabla_{X}(\nabla_{Y}Z)- \nabla_{Y}(\nabla_{X}Z))\\
&=\nabla_{ [X, Y ] }(fZ)-f\nabla_{ [X, Y ] }(Z)+f( \nabla_{X}(\nabla_{Y}Z)- \nabla_{Y}(\nabla_{X}Z)) \\
&=\nabla_{ [X, Y ] }(fZ)+f( \nabla_{X}(\nabla_{Y}Z)- \nabla_{Y}(\nabla_{X}Z)-\nabla_{ [X, Y ] }(Z))\\
&=\nabla_{ [X, Y ] }(fZ)+fR(X,Y,Z)
\end{align}

$f,g,h \in C^{\infty}$,
\[R(fX,gY,hZ)= fghR(X,Y,Z)\]